Struttura della Materia - INFN Napoli

Struttura della Materia 249
Il gas di Fermi non interagente costituisce un’utile prima approssimazione per
numerosi sistemi di fermioni. Per esempio il modello di metallo più semplice è
quello di Sommerfed in cui le interazioni tra gli elettroni e degli elettroni con i
nuclei sono rappresentate come un potenziale costante. Questo modello giustifica
l’andamento lineare del calore specifico dei metalli a bassa temperatura osservato
sperimentalmente.
4.7 Elettroni nei solidi: isolanti, conduttori e semiconduttori
Il modello degli elettroni liberi chiusi in una scatola si applica molto bene agli
elettroni di conduzione di un metallo. Essi si spostano liberamente dentro il
metallo, ma l’interazione elettrostatica con il reticolo ionico impedisce loro di
uscire quando arrivano in prossimità della superficie. Questo modello è però
troppo semplice per spiegare perchè certi solidi sono buoni conduttori elettrici
mentre altri sono isolanti (il numero degli elettroni coinvolti nella conducibilità
intrinseca può variare di un fattore 10 10 traunbuonisolanteedunmetallopuro).
In modo molto qualitativo queste differenze possono essere spiegate tenendo conto
dell’esistenza delle bande di energia e del principio di Pauli.
Useremo i risultati stabiliti per reticoli unidimensionali. Nei cristalli reali
gli ioni positivi formano un reticolo di Bravais in tre dimensioni. La comprensione
teorica delle proprietà di un solido necessita dello studio dettagliato della
struttura delle bande di energia svolto nella fisica dei solidi.
Nota la struttura delle bande e il numero degli stati per banda, lo stato
fondamentale elettronico di un solido si ottiene ”riempiendo” successivamente
gli stati di singola particella nelle varie bande permesse a cominciare da quelle
più basse. I numeri di occupazione medi sono dati dalla distribuzione di Fermi.
I metalli hanno 10 22 elettroni per cm 3 ed una energia di Fermi di alcuni eV.
Conviene confrontare le temperature con quella di Fermi TF = εF /kB che è
compresa tra 10 4 e10 5 ◦ K. A temperatura ambiente T è almeno 100 volte più
piccola di quella di Fermi. La distribuzione di Fermi è prossima al gradino T =0
ed εF è la massima energia possibile per gli elettroni. La posizione di εF rispetto
alle bande permesse diventa essenziale per caratterizzare il comportamento di un
solido. Se εF cade in mezzo ad una banda permessa abbiamo a che fare con un
conduttore mentre se εF cade in una banda proibita il cristallo è un isolante.
Qual’è la velocità di un elettrone in uno stato di Bloch? Così come si fa per
le particelle libere possiamo associare ad un elettrone nella banda un pacchetto
d’onda,
ψ (x, t) = 1
Z ∞
√ dk g (k) u (k, x)exp(i (kx − E (k) t/~)) (242)
Na −∞
La funzione g (k) ha un massimo in k = k0, la funzione u (k, x) è normalizzata a 1
tra 0 ed a (il cristallo ha dimensione Na e stiamo imponendo le solite condizioni al