Struttura della Materia - INFN Napoli

Struttura della Materia 56
proporzionale a ½ 4=3 . Il calcolo per un determinante di Slater di onde piane fornisce
una densita’ media di energia di scambio pari a
E sc [½] = ¡ 3e2
4
µ 1=3
3
½
¼
4=3 :
La densita’ di energia cinetica di un gas di elettroni non interagenti e’ data
da
Ecin [½] = C1½5=3 con C1 = 3(3¼2 ) 2=3 ~
10
2
m :
La potenza con cui compare ½ può essere …ssata da una analisi dimensionale.
Tenuto conto che l’energia cinetica deve contenere la costante h2 =m:
ML 2 T ¡2 L 3 =
µ N
V
ML 2 T ¡2 L 3 = L ¡3®
® µ 2 ¯
h
m
µ 2 4 ¡2 ¯
M L T
M
¯ = 1 ; L ¡1 = L ¡3®+4¯
® = 5
3 :
Si può procedere allo stesso modo per la densità di energia di scambio. La costante
questa volta deve contenere e 2
ML 2 T ¡2 L 3 =
µ N
V
±
(e 2 ) °
ML 2 T ¡2 L 3 = L ¡3± (LML 2 T ¡2 ) °
° = 1 ; L ¡1 = L ¡3±+3°
± = 4
3 :
Il metodo di Thomas-Fermi può essere reso più generale includendo anche
lo scambio. Infatti si può aggiungere al funzionale E[½] dell’eq.(13) anche il
contributo dello scambio
Z
E[½] = d~r £ C1½ 5=3 (~r) + e½(~r)Á(~r) ¡ C2½ 4=3 (~r) ¤ :
L’equazione di Eulero-Lagrange per il minimo dell’energia totale è ora
5
3 C1½ 2=3 ¡ 4
3 C2½ 1=3 + eÁ ¡ E0 = 0