Struttura della Materia - INFN Napoli

Struttura della Materia 78
con (2L + 1)(2S + 1) componenti. Se L è noto il semplice conteggio delle componenti
consente di determinare lo spin S: Per campi intermedi occorre diagonalizzare
la matrice che rappresenta V2 + V3 nei sottospazi degli autovalori ELS; che
non è più diagonale in nessuno dei due schemi LSJMj o LMLSMS: In questo
caso MJ continua ad essere un buon numero quantico ma non lo sono più ML; MS
e J.
Transizione dal regime Zeeman a quello Paschen-Back
Ci limiteremo a considerare il caso in cui nella sottoshell vi sia un solo elettrone
con S = 1=2 ( per esempio l’elettrone ottico di atomo alcalino). La perturbazione
sulla hamiltoniana del campo centrale medio V (r) è
W = ¡ e~2
2m 2 c 2
1 @V
r @r ~ L ¢ ~ S + ¹BB (Lz + 2Sz) :
Scegliamo come base gli autostati di fL 2 ; S 2 ; J 2 ; Lz; Szg : Poichè S 2 = 3=4 e,
avendo assegnati gli autovalori di L 2 e di J 2 ; gli autovalori di Lz e di Sz possono
essere speci…cati dall’autovalore M di Jz e dall’autovalore MS di Sz poichè ML =
M ¡ Ms:. Assegnamo così un sottospazio di dimensione 2 con vettori di base
jM ¡ 1=2; 1=2i ; jM + 1=2; ¡1=2i:
Se L ¸ 1 allora J = L¡1=2; L+1=2; nel primo caso ¡L+1=2 · M · L¡1=2; nel
secondo ¡L¡1=2 · M · L+1=2: Tenuto conto che ~ L¢ ~ S = (L+S¡ + L¡S+) =2+
LzSz si ha
~L ¢ ~ S jM ¡ 1=2; 1=2i = 1
2 L+S¡jM ¡ 1=2; 1=2i + 1
2
= 1
q
(L + 1=2)
2
2 ¡ M 2 jM + 1=2; ¡1=2i: + 1
2
~L¢ ~ S jM+1=2; ¡1=2i = 1
2 L¡S+jM +1=2; ¡1=2i ¡ 1
2
= 1
q
(L + 1=2)
2
2 ¡ M 2 jM ¡ 1=2; 1=2i: ¡ 1
2
µ
µ
M ¡ 1
µ
M ¡ 1
2
2
µ
M + 1
M + 1
2
jM ¡ 1=2; 1=2i =
jM ¡ 1=2; 1=2i
2
jM +1=2; ¡1=2i =
jM + 1=2; ¡1=2i
La matrice che rappresenta W nel sottospazio 2 £ 2 speci…cato da M è
0
q
k M ¡ 1=2 (L + 1=2)
@
2
2 ¡ M2 q
(L + 1=2) 2 ¡ M 2 1
µ
A
M + 1=2 0
+ ¹BB
0 M ¡ 1=2
¡M ¡ 1=2
dove
k = e~2
2m2c2 Z
dr
µ
¡ @V
rR
@r
2
nL (r):