Struttura della Materia - INFN Napoli

Struttura della Materia 48
hHi = X
h'i(i) j hi j 'i(i)i + 1
2
i
= X
h'i(1) j h1 j 'i(1)i + 1
2
i
X
i;j(i6=j)
X
i;j(i6=j)
h'i(i)'j(j) j gij j 'i(i)'j(j)i =
h'i(1)'j(2) j g12 j 'i(1)'j(2)i
dove le variabili di integrazione mute sono state indicate con 1 e 2 e le somme si
riferiscono ai nomi degli stati. Le ' vanno variate mantenendo la ª normalizzata
a 1, cioè il minimo va cercato sotto le Z condizioni
h'i(1) j 'i(1)i = 1
che possono essere imposte tramite i moltiplicatori di Lagrange ¸i .
La condizione di minimo è allora
±hHi ¡ X
¸i±h'i(1) j 'i(1)i = 0:
i
Se variamo la funzione 'k l’equazione precedente implica che
h±'k(1) j h1 j 'k(1)i + 1
Ã
X
h'i(1)±'k(2) j g12 j 'i(1)'k(2)i+
2
i6=k
+ X
!
h±'k(1)'i(2) j g12 j 'k(1)'j(2)i ¡ ¸kh±'k(1) j 'li(1)i+
j6=k
+complesso coniugato = 0:
Se nella somma su i scambiamo le variabili 1 e 2 che sono mute e chiamiamo j
l’indice i si ha:
X
h'i(1)±'k(2) j g12 j 'i(1)'k(2)i = X
h±'k(1)'i(2) j g12 j 'k(1)'j(2)i
i6=k
ne segue che
"
h±'k(1) j h1 + X
#
h'i(2) j g12 j 'j(2)i ¡ ¸k j 'k(1)i+ complesso coniugato = 0:
j6=k
Scegliamo j ±'i = ±" j Ãi con ±" reale ed in…nitesimo e
Ã
j Ãi = h1 + X
!
h'i(2) j g12 j 'j(2)i ¡ ¸k j 'k(1)i:
j6=k
j6=k