Struttura della Materia - INFN Napoli

Struttura della Materia 26
della forma ¡Ze 2 =r vicino all’origine, devia da questa forma coulombiana pura al
crescere di r per diventare ¡e 2 =r nella regione asintotica. Queste considerazioni
semi-quantitative sono al momento su¢cienti. Discuteremo in seguito alcuni
metodi per determinare V (r) in modo sistematico: il metodo di Thomas-Fermi,
quello di Hartree ed Hartree-Fock.
In approssimazione di campo centrale, l’Hamiltoniana si scrive
dove
H ' HC = h (1) + h (2) + ¢ ¢¢ + h (Z)
h = ~p2
+ V (r) :
2m
Gli autovettori di HC sono i determinanti di Slater Z £ Z che si possono
costruire a partire da un insieme di vettori di base di h: L’autovalore di HC
corrispondente ad un certo determinante di Slater è eguale alla somma delle
energie dei Z stati di singola particella che compaiono in esso. Il problema agli
autovalori per HC si risolve facilmente una volta che sia stato risolto quello delle
hamiltoniane individuali h.
h è l’hamiltoniana di una particella di spin 1/2 in un potenziale centrale
indipendente dalla spin. Il solo e¤etto dello spin è quello di raddoppiare la degenerazione
di ciascun livello. h; ~ l2 ; lz ed sz costituiscono un insieme completo
di osservabili che commutano i cui vettori di base j nlmlmsi sono denotati dai
quattro numeri quantici n; l; ml; ms: il numero quantico di spin può assumere
i valori §1=2; il numero quantico principale n ha la stessa de…nizione del caso
dell’atomo di idrogeno. (Il numero dei nodi della funzione radiale è n ¡ l ¡ 1).
Poichè l’energia di ciascuno stato, enl, dipende solo da n e da l ciascun livello
individuale è 2 (2l + 1) volte degenere.
L’ordine dei livelli energetici enl non dipende in modo cruciale dalla forma
dettagliata del potenziale V (r). Se V (r) fosse semplicemente il potenziale di
Coulomb ¡Ze 2 =r del nucleo, tutti i livelli l = 0; 1; 2; : : : ; n ¡ 1, corrispondenti
ad un dato valore di n, coinciderebbero. Lo schermo dovuto agli altri elettroni
innalza i livelli energetici, e questo e¤etto è tanto più pronunciato quanto più alti
sono n ed l, poichè in tal caso le funzioni d’onda sono localizzate a valori di r
maggiori. Così per un dato valore di l l’energia enl è una funzione crescente di n
e per un dato valore di n è una funzione crescente di l (le funzioni d’onda con
valori di l maggiori sono spinte verso l’esterno dalla barriera centrifuga). Se ci
limtiamo a considerare lo stato fondamentale e i primi stati eccitati, l’ordine della
successione dei livelli di energia enl (come si può evincere dai dati spettroscopici)
e circa la stessa per tutti gli atomi ed è mostrata dalla tabella seguente. Si
noti come la successione è diversa da quella dell’idrogeno, nella quale le energie
dipendono solo da n e en+1 > en: Per esempio lo stato 4s, che nell’idrogeno ha
un’energia minore dello stato 3d, viene depresso in energia dal suo basso momento
angolare, che rende grande questo orbitale a piccoli r, nella regione in cui esso