Struttura della Materia - INFN Napoli

Struttura della Materia 45
dalle regole di commutazione fondamentali tra ~r e ~p: Ne segue che prendendo il
valore di aspettazione su uno stato stazionario di questo commutatore si ha
D
2 hT i = ~r ¢ ~ E
rU :
Se U è una funzione omogenea delle coordinate di grado k (e cioè sfericamente
simmetrica e proporzionale a r k ), e se il valore di aspettazione esiste allora
2 hT i = k hU i :
:Il modello di Thomas-Fermi puo’ essere fondato su una base variazionale
considerando l’energia totale dell’atomo come un funzionale della densità. L’energia
totale e’ la somma dell’energia cinetica totale e dell’energia potenziale totale
degli elettroni. Approssimeremo la prima con la forma che assume per un gas di
elettroni liberi (che ha una natura quantistica), la seconda con il risultato che si
ottiene trattando gli elettroni come una distribuzione di carica classica ¡e½ che
interagisce con il nucleo di carica +Ze e con se stessa
Z
E[½] =
d~r C½ 5=3 ¡ Ze 2
Z
d~r ½ e2
+
r 2
ZZ
d~rd ~ r0 ½(~r)½(~r 0 )
j~r ¡ ~r 0 : (13)
j
Vogliamo che E sia minima sotto la condizione che il numero N di elettroni sia
assegnato, e cioè che Z
d~r ½(~r) = N:
Usiamo il metodo dei moltiplicatori di Lagrange minimizzando
µZ
E[½] ¡ E0 d~r ½(~r) ¡ N
essendo E0 il moltiplicatore di Lagrange. La variazione su ½ fornisce la condizione
di minimo
Z Ã
5
±E = d~r ±½
3 C½2=3 ¡ Ze2
Z
+ e2
r
dove si è tenuto conto che
e2 ZZ
2
d~rd~r 0 ±½(~r)½(~ r 0 )
j~r ¡ ~ r 0 j
= e2
2
Z Z
d ~ r0 ½(~ r0 )
j~r ¡ ~ r0 !
¡ E0 = 0
j
d~rd~r 0 ½(~r)±½(~ r0 )
j~r ¡ ~ r0 :
j
La densità che rende minima l’energia è, dunque, soluzione dell’equazione
5
3 C½2=3 = E0 + Ze2
Z
¡ e2
r
d~r 0 ½(~ r 0 )
j~r ¡ ~ r 0 j = E0 + e©