Struttura della Materia - INFN Napoli

Struttura della Materia 149
misura anche l’ampiezza del moto elettronico. Dalle relazioni di indeterminazione
il momento dell’elettrone è dell’ordine di ~/a, che corrisponde ad un’energia cinetica
~ 2 /ma 2 . Questa quantità dà l’ordine di grandezza dell’energia di legame
dello stato fondamentale degli elettroni ed è anche l’ordine della separazione in
energia dei livelli elettronici, in definitiva:
εel ' ~ 2 /ma 2 .
Per quanto riguarda il moto dei nuclei consideriamo prima le rotazioni. Il
momento di inerzia del sistema è dell’ordine di Ma2 e poichè il quadrato del
momento angolare varia per quanti dell’ordine di ~ 2 , l’energia rotazionale varia
per quanti dell’ordine di
εrot ' ~ 2 /Ma 2 .
In prima approssimazione le vibrazioni possono essere considerate armoniche
evariareperquantidi~ω. Per valutare
εvib ' ~ω
occorre stimare ω. Prendiamo lo zero dell’energia potenziale alla posizione di
equilibrio stabile dei nuclei. Se uno dei nuclei è portato ad una distanza a, il
sistema acquista una energia potenziale 1
2 Mω2 a 2 , ma così facendo stiamo separando
completamente uno degli atomi dal resto e l’aumento di energia deve essere
del”ordine di quella elettronica
da cui ω ' ~/a 2√ Mm e
Mω 2 a 2 ' ~ 2 /ma 2
εvib '
a2√Mm Il confronto delle tre energie dà
~ 2
εrot ¿ εvib ¿ εel
e la grandezza relativa di un termine rispetto all’altro è espressa dal parametro
κ =(m/M) 1
4 di modo che
εrot ' κ 2 εvib ' κ 4 εel.
Ad una separazione dei livelli di ε è associata una frequenza ε/~ eneconcludiamo
che il moto degli elettroni è più rapido del moto di vibrazione che a sua volta è
molto più rapido di quello di rotazione dell’insieme. Il rapporto tra le frequenze
di questi moti differenti è dell’ordine di κ 2 e cioè di 0.01: durante una rivoluzione
completa dell’intera molecola i nuclei fanno circa 100 oscillazioni attorno alle loro
posizioni di equilibrio e gli elettroni effettuano circa 10000 rivoluzioni.