Struttura della Materia - INFN Napoli

Struttura della Materia 246
A T =0si ha
N
V
= g
4π 2
µ 2m
~ 2
3
2 Z µ
0
dε ε 1
2 = g
4π 2
da cui si ricava l’energia di Fermi
µ 2
2 3 2 6π ~
εF ≡ µ (T =0)=
g 2m
ovvero il vettore d’onda di Fermi
µ 2 6π N
kF =
gV
L’energia è data da
E
V
= g
4π 2
µ 2m
~ 2
3
2 Z µ
e quindi l’energia media per particella
Dall’equazione di stato
si ha
P = 2
5
E
N
0
2
3
dε ε 3
2 = g
4π 2
3 3
= µ =
5 5 εF
PV = 2 2
E =
3 5 NεF
µ 6π 2
g
2
3 ~ 2
2m
µ 2m
~ 2
µ 2
N 3
V
µ 5
N 3
V
µ 2m
~ 2
3
2 2 3
µ 2
3
= ~2 k 2 F
2m
3
2 2 5
µ 2
5
(235)
(236)
(237)
e il gas di Fermi esercita una pressione finita a temperatura zero. Questa è una
conseguenza del principio di Pauli che richiede che siano riempiti gli stati con
momento fino a quello di Fermi ~kF , e i fermioni in questi stati esercitano una
pressione sulle pareti.
A temperatura piccola ma finita vogliamo esprimere µ come una funzione
della densità N/V invertendo l’equazione (232). Introduciamo la variabile x =
(ε − µ) /kBT allora
PV = 2
3
gV
4π 2
µ 2m
~ 2
3
2
(kBT ) 5
Z +∞
2
−µ/kBT
dx (x + µ/kBT ) 3
2
e x +1
epoichèµ è finito per T → 0, allora α ≡ µ/kBT → +∞. Consideriamo l’integrale
I (α) =
Z ∞
−α
dx
3
(x + α) 2
ex +1 =
Z 0
dx
−α
3
(x + α) 2
ex +1 +
Z ∞
dx
0
(x + α) 3
2
e x +1