Struttura della Materia - INFN Napoli

Struttura della Materia 254
dove abbiamo approssimato la funzione di Fermi fe =1/ (exp (β (ε − µ)) + 1)
con quella di Boltzmann exp (−β (ε − µ)) essendo ε − µ À kBT. L’integrale si
riconduce ad un integrale gaussiano e
n = 1 ¡
2mekBT /π ~
4
2¢ 3/2
exp (β (µ − Eg)) . (253)
La densità di lacune in banda di valenza è data invece da
p =
Z 0
Dh (ε) fh (ε) dε
−∞
dove fh èladistribuzionedellelacunecheèilcomplementoa1diquelladiFermi
fh =1−
1
' exp (β (ε − µ))
exp (β (ε − µ)) + 1
ammesso che µ − ε À kbT come accade essendo ora l’energia sotto il potenziale
chimico. La riduzione dell’integrale alla forma gaussiana dà
p = 1 ¡
2mhkBT /π ~
4
2¢ 3/2
exp (−βµ) . (254)
Le due densità si ottengono una volta noto il potenziale chimico µ, tuttavia
all’equilibrio, indipendentemente dal valore di µ, si ha
np= 1
16 (2kBT /π ~ 2 ) 3 (memh) 3/2 exp (−Eg/kBT ) legge dell’azione di massa.
(255)
Questo risultato è stato derivato senza specificare se il semiconduttore è intrinseco
oppure no, esso vale anche in presenza di impurezze. A 300 ◦ Kilvaloredinp èdi
5.7×10 26 cm −6 perilGeedi2.2×10 20 cm −6 per il Si.
Ad una data temperatura il prodotto delle concentrazioni di elettroni e di
lacune è indipendente dalla concentrazione di impurezze. Se introduciamo donori
facendo crescere n allora p deve diminuire.
Per un semiconduttore intrinseco n = p: l’eccitazione termica di un elettrone
dalla banda di valenza si lascia dietro una lacuna. La legge dell’azione di massa
implica che
ni = pi =2 ¡ 2πkBT /~ 2¢ 3/2 (memh) 3/4 exp (−Eg/2kBT ) (256)
e cioè l’eccitazione dei portatori di carica nei semiconduttori intrinseci varia esponenzialmente
con l’ampiezza della banda proibita. Confrontando la (256) con la
(253) o la (254) si ha
exp (2βµ) =
µ mh
me
3/2
exp (βEg)