Struttura della Materia - INFN Napoli

Struttura della Materia 226
a—Le due radici λ1 e λ2 sono reali e distinte. Poichè λ1λ2 =1allora λ1 > 1, e
λ2 < 1. Spostando ripetutamente x di a si ha
ψ (x + na) =λ n 1ψ (x) =λn2 ψ (x)
e entrambe le soluzioni danno luogo a soluzioni divergenti una per x →∞,
l’altra per x →−∞. Queste soluzioni non sono fisicamente accettabili e
l’energia non è un autovalore.
b—Le due radici sono l’una la complessa coniugata dell’altra. Poichè sono di
modulo1lepossiamorappresentareconilnumerorealek
λ1 = e ika
; λ2 = e −ika
entrambe le funzioni d’onda sono permesse e l’autovalore dell’energia è
doppiamente degenere.
c—Il caso b ha come caso particolare quello in cui le radici sono eguale ed entrambe
eguali a +1 o entrambe eguali a −1.
Il caso b comporta che
ψ (x + na) =e ikna ψ (x) (189)
che non è altro che il teorema di Bloch. La (189) implica che se rappresentiamo
la ψ (x) nella forma
ψ (x) =u (k ; x) e ikx
(190)
allora la u è periodica sia nel reticolo diretto
che nel reticolo reciproco
u (k ; x + a) =u (k ; x)
u (k +2π/a; x) =u (k ; x) .
Le soluzioni fisicamente accettabili sono le onde di Bloch e cioè onde piane modulate
da una funzione che ha la periodicità del reticolo.
Conviene restringere k alla prima zona di Brillouin che in questo caso è l’intervallo
−π/a, π/a.Gli autovalori E (k) e E (−k) sono degeneri e quindi E (k) è
una funzione pari di k che ha anche la periodicità del reticolo reciproco
E (k +2π/a) =E (k) .
Per avere indicazioni sulla forma dello spettro consideriamo il caso in cui il potenziale
periodico agisce come una piccola perturbazione sullo spettro di una particella
libera (questa in fisica dei solidi è chiamata approssimazione dell’elettrone