Struttura della Materia - INFN Napoli

Struttura della Materia 250
contorno periodiche). Sia la banda E (k) che u (k, x) sono funzioni periodiche nel
reticolo reciproco. Possiamo a questo punto identificare la velocità dell’elettrone
nello stato ψ (x, t) con la velocità di gruppo dell’onda di Bloch corrispondente al
massimo di g in k0
vg = 1
~
· ¸
dE
dk k=k0
Il vettore d’onda k è ristretto alla prima zona di Brillouin −π/a, π/a
(243)
k ≡ kp = 2πp
−
Na
N N
0
possiamo far corrispondere a ciascun stato della banda una velocità
v (k) ≡ vp = E1a
~ sin kpa (244)
Se attribuiamo a ~k il significato di momento, allora m∗ = ~k/v (k) ha il carattere
di una massa (viene chiamata massa efficace)
m ∗ = ~ 2 k/ dE
(245)
dk
Si noti come per la banda considerata la massa efficace è positiva sul fondo della
banda e negativa alla sua cima.
Ciascuno stato di banda concorre alla corrente elettrica come − |e| vp e, poichè
all’equilibrio ad ogni stato occupato con un certo k corrisponde una stato occupato
con −k, la corrente elettrica totale nel solido è zero. Applichiamo ora una
piccola perturbazione esterna. Se la banda è piena questa perturbazione non è
capace di modificarne l’occupazione (il principio di Pauli impedisce transizioni
tra stati vicini in energia) la corrente totale trasportata dalla banda resta nulla.
Se invece il livello di Fermi è dentro la banda sono possibili transizioni tra stati
pieni immediatamente sotto il livello di Fermi a stati vuoti che stanno appena
sopra di esso e nasce una corrente nel solido.
Applichiamo al solido un campo elettrico uniforme E e studiamo come evolve
nel tempo lo stato di Bloch corrispondente ad un k. Si dimostra adeguata una
approssimazione semiclassica nella quale si applica l’equazione di Newton in cui
la forza − |e|E è eguale alla derivata del momento ~k rispetto al tempo
~ dk
dt
= F = − |e|E (246)