Struttura della Materia - INFN Napoli

Struttura della Materia 97
L’effetto di WDE (t) sull’elettrone è quello di un campo elettrico uniforme sinusoidale
E~ez cos ωt, come si può mostrare calcolando l’evoluzione di h~ri (t) tramite
il teorema di Eherenfest
d 1
hAi = h[A, H (t)]i +
dt i~
che applicato agli operatori ~r e ~p dà
¿ À
∂A
,
∂t
d 1
h~ri =
dt i~ h[~r, Ho + WDE (t)]i = h~pi eE
−
m mω ~ez sin ωt
d 1
h~pi =
dt i~ h[~p, Ho + WDE (t)]i = − h∇U (r)i .
Eliminando h~pi dalle due equazioni precedenti si ha
m d2
dt2 h~ri = − h∇U (r)i − eE~ez cos ωt
e il centro del pacchetto d’onde associato all’elettrone si muove come una particella
di massa m edicarica−eche, oltre alla forza centrale del potenziale
atomico, risente l’azione di un campo elettrico uniforme. Fisicamente questo significa
che la funzione d’onda elettronica è così localizzata attorno all’origine che
l’elettrone non “sente” le variazioni spaziali di ~ A e quindi del campo elettrico, nè
alcun campo magnetico.
La forma di WDE può apparire insolita, e infatti l’accoppiamento del momento
di dipolo elettrico ~ D = −e~r con un campo elettrico ~ E = E~ez cos ωt èabitualmente
dato da
W 0 DE = − ~ D · ~ E = eEz cos ωt.
E’ immediato verificare che si passa da WDE a W 0 DE
gauge. Il gauge relativo a WDE è
½
~A(~r, Ec t) = ω ~ez sin (ky − ωt)
φ(~r, t) =0
con una trasformazione di
Una trasformazione di gauge è definita da una funzione scalare qualsiasi χ (~r, t)
( ~A 0 (~r, t) = ~ A(~r, t)+ ~ ∇χ (~r, t)
e se scegliamo come funzione χ
φ 0 (~r, t) =φ (~r, t) − 1
c
χ (~r, t) = Ezc
ω
∂χ(~r,t)
∂t
sin ωt