Struttura della Materia - INFN Napoli

Struttura della Materia 221
La coordinata normale X0 descrive il moto del centro massa : la frequenza
corripondente è zero. La coordinata normale XN/2 corrisponde ad uno spostamento
in cui masse contigue oscillano in opposizione di fase con eguale ampiezza.
In questo caso la pulsazione ha il suo valore massimo
r
γ
ωmax =2
M
Nel limite di piccoli valori di kp = 2πp/Na la relazione di dispersione ωp ∼
2π p γ/M |p| /N corrisponde ad una velocità di propagazione c = p γ/M a.
Siamo nel limite di grandi lunghezze d’onda e nel secondo membro dell’equazione
(169)
(xν+1 + xν−1 − 2xν) ∼ a 2 ∂2xν ∂x2 e la (169) diventa l’equazione di un onda elastica in una corda.
Generalizziamo l’esempio precedente prendendo le masse di posto pari diverse
da quelle di posto dispari e lasciando tutto il resto tale e quale. Il numero totale
degli atomi è pari e lo indicheremo con 2N. Il reticolo ha ora N celle elementari ,
con due atomi diversi per ciascuna cella.Siano M ed m le due masse con M>m.
Le equazioni del moto sono
M d2 x2n
dt 2 = γ (x2n+1 + x2n−1 − 2x2n) (177)
m d2 x2n+1
dt 2
con le condizioni al contorno
= γ (x2n+2 + x2n − 2x2n+1)
xk+2N = xk. (178)
I modi normali continueranno ad avere la forma di un’onda sinusoidale con un
vettore d’onda kp =2πp/Na, l’unica differenza sta nel fatto che l’onda m avrà
una ampiezza e una fase diversa dall’onda M. Possiamo tener conto di questo