Struttura della Materia - INFN Napoli

Struttura della Materia 63
la struttura del multipletto basta considerare i determinanti formati dagli stati
delle sottoshell incomplete. Gli elettroni appartenenti alla stessa sottoshell incompleta
sono detti essere equivalenti. Per un insieme di elettroni equivalenti
non tutti i valori del momento angolare totale L , che si ottiene dalla somma dei
singoli momenti angolari orbitali, sono compatibili con i valori dello spin totale S
: solo alcuni degli accoppiamenti danno luogo a stati che sono totalmente antisimmetrici.
In de…nitiva vogliamo scegliere come base nel multipletto gli autostati
j°LSMLMSi di L 2 ; S 2 ; Lz; Sz, sulla quale V1 è diagonale e il problema è quello
scegliere tra i valori di L che possono essere messi insieme a quelli di S in modo
che questi autostati siano antisimmetrici.
Il caso di due soli elettroni, equivalenti o non, è il più semplice da trattare
poichè possiamo formare in modo indipendente la parte spaziale e poi moltiplicarla
per quella di spin che è di singoletto (antisimmetrica) o di tripletto (simmetrica)
in modo che il tutto sia antisimmetrico, generalizzando quanto già fatto
per l’elio. L’autofunzione di due elettroni indipendenti negli stati n1l1 e n2l2 che
è autostato di L2 e di Lz ammette le due rappresentazioni
© (1)
n1l1;n2l2;LM (~r1; ~r2) =
X
hl1l2m1m2jLMiÁn1l1m1 (~r1)Án2l2m2 (~r2)
© (2)
n2l2;n1l1;LM (~r1; ~r2) =
m1;m2;m1+m2=M
X
m1;m2;m1+m2=M
hl2l1m2m1jLMiÁn2l2m2 (~r1)Án1l1m1 (~r2)
e da queste si ottiene la funzione d’onda simmetrica o antisimmetrica
© S
A (~r1; ~r2) = © (1) (~r1; ~r2) § © (2) (~r1; ~r2):
Vale la seguente proprietà dei coe¢cienti di Clebsh-Gordan
dalla quale segue che
© S
A (~r1; ~r2) =
© S
A (~r1; ~r2) =
hl2l1m2m1jLMi = (¡1) l1+l2¡L hl1l2m1m2jLMi
X
m1;m2;m1+m2=M
hl1l2m1m2jLMi (Án1l1m1 (~r1)Án2l2m2 (~r2) +
§(¡1) l1+l2¡L Án2l2m1 (~r1)Án1l1m2 (~r2)) :
Se i due elettroni sono equivalenti allora n1l1 ´ n2l2 ´ nl e
X
hl1l2m1m2jLMi ¡ 1 § (¡1) 2l¡L¢ Ánlm1 (~r1)Ánlm2 (~r2)
m1;m2;m1+m2=M
da cui segue che se L è pari allora ©A = 0 ed e’ possibile il solo stato di singoletto
S = 0 , mentre se L è dispari allora © S = 0 ed è consentito il solo stato di