Struttura della Materia - INFN Napoli

Struttura della Materia 43
Questa è esattamente la relazione che proviene dal teorema del viriale, sia
nella formulazione classica che in quella quantistica (dove alle medie temporali si
sostistuiscono i valori di aspettazione degli operatori), per particelle che, indipendentemente
l’una dall’altra, si muovono nel potenziale coulombiano 1=r: In questo
caso l’energia potenziale totale e’ pari a ¡2T e l’energia totale è di conseguenza
¡T .
L’energia totale di interazione tra gli elettroni è
Uee = ¡ 1
7 Uen
L’energia totale di legame è proporzionale a Z 7=3 come si può stimare considerando
Z elettroni interagenti con un nucleo di carica Z posti ad una distanza
media proporzionale a Z ¡1=3 . Il valore di  0 (0) per un atomo neutro è pari a
1.58805 e quindi l’energia totale di legame è data da
7=3 e2
E = ¡0:7687Z :
aB
La costante di proporzionalita’ ha un valore di 20.91 eV mentre il valore
empirico è pari a circa 16 eV. Per l’elio con Z = 2 si ottiene una energia di
legame di -105.4 eV contro un valore sperimentale di -78.6 eV ed un valore di
-108.8 eV senza repulsione tra gli elettroni.
Teorema del Viriale
Iniziamo ad esaminare la sua espressione in meccanica classica. Consideriamo
un sistema la cui energia potenziale è una funzione omogenea delle coordinate
e il cui moto si svolge in una regione limitata dello spazio: esiste sempre una
relazione molto semplice tra i valori medi, rispetto al tempo, dell’energia cinetica
e dell’energia potenziale nota come teorema del viriale.
Poichè l’energia cinetica è una funzione quadratica delle velocità, dal teorema
di Eulero sulle funzioni omogenee si ha:
ovvero
2T = X
i
X @ T
¢ ~vi = 2T;
@ ~vi
i
~pi ¢ ~vi = d
à !
X
~pi ¢ ~ri
dt
i
¡ X
i
~ri ¢ @~pi
@t :
Consideriamo ora il valore medio rispetto al tempo di questa eguaglianza. Il
valore medio rispetto al tempo è dato da
Z
¿f (t) dt
1
f = lim
¿ !1 ¿
0