Struttura della Materia - INFN Napoli

Struttura della Materia 53
dopo avere ottenuto le equazioni di Eulero-Lagrange. Conservando la matrice dei
moltiplicatori in forma non diagonale si ha:
h1 j 'k(1)i + X
h'i(2) j g12 j 'i(2)i j 'k(1)i ¡
i
¡ X
h'i(2) j g12 j 'k(2)i j 'i(1)i = X
¸ki j 'i(1)i:
i
De…niamo la matrice
H 0
ik = (h1 + X
h'j(2) j g12 j 'j(2)i)±ik ¡ h'i(2) j g12 j 'k(2)i
j
e indichiamo con j ' j il vettore colonna i cui elementi sono j 'k(1)i. Le equazioni
variazionali hanno la forma
j H 0 jj ¢ j ' j=j ¸ j ¢ j ' j
Poichè j ¸ jj è hermitiana esiste una trasformazione unitaria j S jj che la diagonalizza
j ¸ 0 jj=jj S jj ¢ j ¸ j ¢ j S j ¡1
j H 00 j= j S j ¢ j H 0 j ¢ jj S jj ¡1
i
; ¸ 0
ij = "i±ij
; j S j ¢ j ' j=j à j
jj S jj ¢ j H 0 j ¢ j S j ¡1 ¢ jj S jj ¢ j ' j=j S j ¢ j ¸ jj ¢ j S j ¡1 ¢ j S j ¢ j ' j
jj H 00 jj ¢ j à j=jj ¸ 0 jj ¢ j à j
L’unitarietà (S ¡1 )ij = S ¤
ji comporta che
j Ãji = X
Sjp j 'ji ; j 'ji = X
p
p
S ¤
pj j Ãpi
hÃj j= X
h'p j S ¤
jp ; h'j j= X
hÃp j Spj:
p
Siamo ora in grado di costruire la matrice jH 00 j in termini degli stati jà >.
Osserviamo che
X
< 'jjg12j'j >= X X X
< ÃpjSpjg12S ¤
sjjÃj >= X X
< Ãpjg12jÃs > X
j
s
p
j
= X X
< Ãpjg12jÃs > ±ps = X
< Ãpjg12jÃp >
s
p
e poichè la matrice unità và in sè gli elementi diagonali della matrice jH 0 j divengono
(H 00 )nm = (h1 + X
< Ãpjg12jÃp >)±nm:
p
p
p
s
p
j
SpjS ¤
sj =