Struttura della Materia - INFN Napoli

Struttura della Materia 118
si ha
dbi (t)
= −Γ − iδE
dt 2 ~ .
Tenuto conto delle condizioni iniziali si ha:
µ
Γ
bi (t) =1− + iδE t.
2 ~
(64)
Questo risultato vale solo a tempi così corti che bi (t) variapocorispettoa1,
ovvero se
t ¿ 1 ~
,
Γ δE .
Essendo
|bi (t)| 2 =1− Γt
se si trascurano termini in Γ 2 e (δE) 2 si riottiene il risultato della teoria delle
perturbazioni al primo ordine.
Per ottenere un’approssimazione migliore riscriviamo la (62) nella forma
con
dbi (t)
dt =
g (Ei,t− t 0 )=− 1
2π~
Z t
0
dt 0 g (Ei,t− t 0 ) bi (t 0 ) (65)
Z ∞
dE K (E) · exp i (Ei − E)(t − t 0 ) /~
0
Nell’integrale che definisce g, la funzione lentamente variabile K (E) è moltiplicata
per un esponenziale che come funzione di E ha un periodo 2π~/(t − t 0 ). Se
t − t 0 À 1/∆ l’esponenziale compie numerose oscillazioni e quest’integrale è zero
amenochet ' t 0 . Il nucleo della parte integrale dell’equazione ha un picco molto
pronunciato in t ' t 0 e la (65) può essere approssimata come
0
dbi (t)
dt = bi(t) ·
Z t
0
dt 0 g (Ei,t− t 0 )
ma l’integrale su t0 è esattamente quello che abbiamo già calcolato e
Z t
dt 0 g (Ei,t− t 0 ) ' − Γ
− iδE
2 ~ se Γ, δE
~ ¿ ∆
Si ottiene allora che
µ
bi (t) ' exp
− Γt
2
µ
exp −i δE
~ t
. (66)
Questa soluzione approssimata è stata ottenuta senza imporre un limite superiore
a t, basta che esso sia abbastanza lungo da essere À 1/∆. Atempicortila(66)