Struttura della Materia - INFN Napoli

Struttura della Materia 212
primitiva individuata dal vettore di traslazione. Nel caso della funzione d’onda σ
deve essere specificata in tutti i punti della cella primitiva mentre il campo delle
vibrazioni reticolari ha un numero di gradi di libertà per cella pari a tre volte il
numero degli atomi per cella. ³
Imodinormalidelcampoξσ;
~ ´
R si ottengono come soluzioni di un problema
agli autovalori della forma
Ωξ
³
σ; ~ ´ ³
R = λξ σ; ~ ´
R
(163)
dove Ω è un operatore lineare – per esempio l’Hamiltoniana o la matrice dinamica
delle vibrazioni. In generale non vi sono soluzioni che soddisfano condizioni
al contorno opportune per valori arbitrari di λ; ivaloridiλpermessi dalle ³ condizioni
al contorno sono gli autovalori di Ω e le corrispondenti soluzioni ξ σ; ~ ´
R le
autofunzioni.
³ La´ simmetria traslazionale può essere descritta tramite un operatore di traslazione
T ~R definito da
³ ´ ³
T ~Ri ξ σ; ~ ´ ³
R = ξ σ; ~ R + ~ ´
Ri
(164)
Chiaramente ~ R + ~ Ri è ancora un vettore del reticolo e il lato destro della (164) è
ben definito. Applicando in successione due di questi operatori si ha
³ ´ ³ ´ ³
T ~R2 T ~R1 ξ σ; ~ ´ ³ ´ ³
R = T ~R2 ξ σ; ~ R + ~ ´
R1
³
= ξ σ; ~ R + ~ R1 + ~ ´ ³ ´ ³ ´ ³
R2 = T ~R1 T ~R2 ξ σ; ~ ´
R
e per l’arbitrarietà di ξ due operatori di traslazione commutano tra loro.
Consideriamo ora “l’operatore dinamico” Ω. Dato che il reticolo è supposto
completamente periodico (e quindi infinito) in tutte le direzioni, Ω non può discriminare
tra le diverse posizioni assolute ³ delle celle primitive. Se si applica un
operatore di traslazione reticolare a Ωξ σ; ~ ´
R il risultato deve, allora, essere lo
stesso che si otterebbe prima traslando ξ e poi opplicando Ω
³ ´ ³
T ~Ri Ωξ σ; ~ ´ ³ ´ ³
R = ΩT ~Ri ξ σ; ~ ´
R
per qualunque ξ e qualunque T : Ω commuta con tutti i T del reticolo.
Ciò implica che possiamo cercare soluzioni del problema agli autovalori (163)
di Ω che sono³ simultaneamente autofunzioni degli operatori di traslazione del
reticolo. Se ξ σ; ~ ´
³ ´
R è una tale autofunzione simultanea e C ~Ri è l’autovalore
³ ´
di T ~Ri allora
³ ´ ³
T ~R1 ξ σ; ~ ´ ³
R = ξ σ; ~ R + ~ ´ ³ ´ ³
R1 = C ~R1 ξ σ; ~ ´
R .