Struttura della Materia - INFN Napoli

Struttura della Materia 172
ed infine
K2 = ha (r1) a (r2) |g12| b (r1) b (r2)i
= 1 e
5
2 © ¡ ¢
2 3
− exp (−2ρ) −25/8+23ρ/4 +3ρ + ρ /3
a
+ 6
ρ
£ S 2 (γ +lnρ)+S 0 2 Ei (−4ρ) − 2SS 0 Ei (−2ρ) ¤ ¾
= k2 (ρ) EH (143)
dove ρ = R/a . Mentre le tre quantità C1,C2 e K1 in coordinate ellittiche mettono
capo ad integrali elementari (C1 si può fare anche in coordinate sferiche) il calcolo
di K2 è più complicato. Vi compare la funzione speciale
la costante di Eulero
e la funzione
γ =
Z 1
0
Ei (−x) =−
Z ∞
Z ∞
1 − exp (−t)
dt −
t
1
x
exp (−t)
dt
t
S 0 ·
=exp(−ρ) 1 − ρ + ρ2
¸
3
In definitiva il valore di aspettazione dell’energia è
EMO (ρ) =−2 e2
2a0
exp (−t)
dt =0.57722
t
+ e2 + A
+2C
R 1+S + 2(C1 + C2)+8K1 +4K2
4(1+S) 2
(144)
Per R →∞il limite asintotico di EMO è −2+5/8 =−1.375 Rydberg (il contributo
coulombiano C1 all’interazione elettrone-elettrone è indipendente da R) acui
tende come −e 2 /R. Gli esperimenti mostrano invece che la molecola si dissocia
in due atomi di idrogeno neutri con una energia pari a E∞ =2E1s = −e 2 /a0, e
anche l’andamento asintotico, relativo a due particelle neutre, non può avere un
termine dominante di monopolo come quello trovato in EMO. Si ha un minimo
a R0 =1.5a0 a cui corrisponde una energia E0 che rispetto al valore asintotico
sperimentale 2 èpariaE∞ − E0 =0.196 Rydberg =2.68 eV. I valori sperimentali
sono R0 =1.4a0 =0.74 Å, mentre E∞ − E0 =0.350 Rydberg =4.75 eV.
Per migliorare la stima dell’energia di legame una possibilità è quella di passare
ad un calcolo variazionale nel quale si considera negli orbitali atomici dell’equazione
(136) a = a0/ζ, trattando ζ come parametro variazionale. Sebbene
l’energia di legame migliora e la distanza di equilibrio rimane circa la medesima,
2 I vari testi riportano la profondità del pozzo di potenziale riferita al valore asintotico sperimentale
non a quello consistente con il calcolo. Il valore consistente con il calcolo risulta più
grande di 0.625 Rydberg e cioè di ben 8.5 eV in più.