Struttura della Materia - INFN Napoli

Struttura della Materia 54
La trasformata della matrice i cui elementi sono < 'ijg12j'k > è invece
X X
X X
=
n
m
Sni < 'ijg12j'k > S ¤ km
=< Ãkjg y
12jÃi >=< Ãijg12jÃk >
n
m
Sni < 'kjg y
12 j'i > S ¤ km =
essendo l’operatore g12 autoaggiunto. Abbiamo dimostrato che la matrice jH 00 j,
come funzionale delle Ãk, ha la stessa forma della jH 0 j, come funzionale delle 'k,
e quindi la diagonalizzazione della matrice j¸ j fornisce di nuovo le equazioni (20).
Notiamo che è essenziale che le somme corrano su tutti gli stati.
Le equazioni di Hartree-Fock hanno la forma di equazioni di Schröndiger che,
oltre all’interazione con il nucleo, contengono un potenziale locale Vc(1) ed un
potenziale non locale V sc
k (1; 2) dipendente dal particolare stato k considerato.
Il potenziale locale, detto anche coulombiano o diretto, nello spazio delle con-
…gurazioni assume la forma
Z
X
2 e
Vc(~r1) = ¡ d~r2 jÁi(~r2j
r12
dove Ái(~r) è la parte spaziale dell’orbitale, ovvero dello stato di singola particella,
di indice i. Nelle equazioni esso compare come l’energia potenziale della carica
puntiforme ¡e posta in ~r1 che interagisce con le Z distribuzioni di carica continue
¡ejÁi(~r2)j2 . Si noti che a di¤erenza delle equazioni di Hartree questo potenziale è
lo stesso in tutte le equazioni di Hartree-Fock, pur essendo determinato in modo
consistente dalle loro Z soluzioni.
Il potenziale non locale V sc
k compare come il nucleo di un operatore integrale
nell’equazione per Ák
V sc
k (~r1; ~r2) = X
i
i
±(mk; mi)Á ¤ e2
i (~r2) Ák(~r1)
r12
dove mi indica lo spin dello stato i-esimo e la delta di Kronecker nasce dal
prodotto scalare tra gli autostati dello spin. Questo potenziale è detto di scambio
e dipende dallo spin dello stato k. L’equazione di Hartree-Fock per la parte
spaziale Ák è
µ
¡ ~2
2m r21
¡ Ze2
r1
Z
Ák(~r1) + Vc(~r1)Ák(~r1) ¡
d~r2 V sc
k (~r1; ~r2)Ák(~r2) = "kÁk(~r1):
Si noti che il coulombiano può essere considerato originato dalla densità di singola
particella ½ che si ottiene integrando il modulo quadro della funzione d’onda delle
Z particelle ed integrando su tutte le coordinate tranne una. Per il determinante
di Slater ª si ha
½(~r2) = X
jÁi(~r2)j 2
i