Struttura della Materia - INFN Napoli

Struttura della Materia 239
L’esponenziale è un numero ed è equivalente ad un prodotto di esponenziali; e
quindi la somma sui valori di aspettazione si fattorizza in un prodotto
ZG = X ­ ¯
n1
¯ β(µn1−ε1n1)
e ¯ ® X ­ ¯
¯ n1 ··· n∞ ¯ β(µn∞−ε1n∞)
e ¯ ®
¯ n∞
=
n1
∞Y X ­ ¯
ni
¯ β(µni−ε1ni)
e ¯ ®
¯ ni
i=1
ni
n∞
(216)
Per i bosoni il numero di occupazione di un qualunque stato di singola particella
può assumere qualunque valore compreso tra 0 ed ∞ indipendentemente
dalla occupazione degli altri stati
∞Y ∞X
ZG = (exp β (µ − εi)) n ∞Y
= (1 − exp β (µ − εi)) −1
(217)
i=1 n=0
Il logaritmo della (217) fornisce il potenziale termodinamico Ω0
∞Y
Ω0 (T,V,µ)=−kBT ln (1 − exp β (µ − εi)) −1
Ω0 (T,V,µ)=kBT
i=1
i=1
∞X
ln (1 − exp β (µ − εi)) Bose (218)
i=1
Il numero medio di particelle si ottiene differenziando Ω0 rispetto al potenziale
chimico secondo la (210) tenendo T e V (e quindi εi) fissi
∞X
hNi = n
i=1
0 i =
∞X 1
distribuzione di Bose-Einstein
exp β (εi − µ) − 1
i=1
(219)
dove n0 i è il numero medio di occupazione nello stato i-esimo.
Per i fermioni il numero di occupazione di un qualunque stato o è 0 oppure
è 1 per cui
∞Y 1X
ZG = (exp β (µ − εi)) n ∞Y
= (1 + exp β (µ − εi)) (220)
i=1 n=0
prendendo il logaritmo di ambo i membri
∞X
Ω0 (T,V,µ)=−kBT ln (1 + exp β (µ − εi)) Fermi (221)
i=1
eilnumerodiparticelleèdatoda
∞X
hNi = n 0 ∞X 1
i =
exp β (εi − µ)+1
i=1
i=1
i=1
distribuzione di Fermi-Dirac (222)