Struttura della Materia - INFN Napoli

Struttura della Materia 52
l’espressione trovata per hHi prendendo solo i Z moltiplicatori di Lagrange della
diagonale. L’equazione per il minimo si semplica
±hHi ¡ X
"i±h'l(1) j 'i(1)i = 0:
Variando la funzione 'k si ha
i
h±'k(1) j h1 j 'k(1)i + 1
2 fXh±'k(1)'i(2)
j g12 j 'k(1)'i(2)i +
i6=k
X
h'j(1)±'k(2) j g12 j 'j(1)'k(2)i ¡ X
h±'k(1)'i(2) j g12 j 'i(1)'k(2)i ¡
j6=k
¡ X
h'j(1)±'k(2) j g12 j 'k(1)'j(2)i g ¡ "kh±'k(1) j 'k(1)i +
j6=k
i6=k
+ complesso coniugato = 0
La prima e la seconda somma sono eguali potendo scambiare i nomi delle variabili
1 e 2, così pure la terza e la quarta, allora questa equazione si può mettere nella
forma
h±'k(1) j Ãk(1)i + complesso coniugato = 0
essendo
j Ãk(1)i = h1 j 'k(1)i + X
h'i(2) j g12 j 'i(2)i j 'k(1)i¡
i
¡ X
h'i(2) j g12 j 'k(2)i j 'i(1)i ¡ "k j 'k(1)i
i
e, seguendo lo stesso ragionamento che abbiamo fatto nell’approssimazione di
Hartree, le equazioni di Eulero-Lagrange per il minimo condizionato si ottengono
ponendo j Ãk(1)i = 0. Notiamo che nelle somme abbiamo lasciato cadere la
limitazione i 6= k che è automaticamente veri…cata poichè i due termini con i = k
sono eguali ed opposti. Si sono così ottenute le equazioni di Hartree-Fock-Dirac,
a cui ci si riferisce in genere come di Hartree-Fock
h1 j 'k(1)i + X
h'i(2) j g12 j 'i(2)i j 'k(1)i ¡ (20)
i
¡ X
h'i(2) j g12 j 'k(2)i j 'i(1)i = "k j 'k(1)i:
i
Prima di studiare queste equazioni mostriamo che esse hanno esattamente la
stessa forma se si diagonalizza la matrice dei moltiplicatori di Lagrange solo