Struttura della Materia - INFN Napoli

Struttura della Materia 107
Empiricamente questa formula descrive la dispersione della radiazione elettromagnetica
nei mezzi materiali in termini di certe frequenze caratteristiche ωi
come
χ = e2 X
N
m
i
ω 2 i
fi
− ω2
dove il fattore fi fu interpretato da Drude come la frazione degli N elettroni
per unità di volume che oscillano alla frequenza ωi; che Pauli chiamò la forza
dell’oscillatore. Inumerifipossono essere determinati empiricamente misurando
la dispersione anomala nell’intorno delle righe di assorbimento.
Da un punto di vista quantistico se l’atomo si trova al tempo t =0nello stato
fondamentale |ϕ0 > sotto l’azione della perturbazione WDE (t) =−eE pz/mω sin ωt
evolve nello stato |ψ (t) >.Al primo ordine della teoria delle perturbazioni
|ψ (t) >= e −.iE0t/~
|ϕ0 > + X
an (t) e −.iEnt/~ |ϕn >
dove
an (t) = 1
Z t
i~ 0
e iωnot0
n6=0
hϕn |WDE (t 0 )| ϕ0i dt 0 .
A meno di un fattore di fase globale e−.iE0t/~ senza importanza
|ψ (t) >= |ϕ0 > − X eEωn0
2~ω hϕn |z| ϕ0i
n6=0
½ −iωnot iωt
e − e
×
ωno + ω − e−iωnot ¾ −iωt − e
|ϕn >.
ωno − ω
Il valore di aspettazione del momento di dipolo Dz = −ez si ottiene come
e il termine lineare in E risulta
hDzi (t) = e2 X 2mωn0
m ~
n6=0
hDzi (t) =−e hψ (t) |z| ψ (t)i
|hϕ0 |z| ϕni| 2
ω 2 no − ω 2
E (cos ωt +cosωn0t)
(46)
Il termine cos ωn0t è spurio ed è rapidamente smorzato per emissione spontanea,
decadendo in un tempo v 1/γ, e cioè per un processo che manca nell’approssimazione
semiclassica usata per il calcolo di |ψ (t) >. In definitiva il calcolo
quantistico fornisce per la polarizzabilità di un singolo atomo
χatomo = e2 X 2mωn0
m ~
n6=0
|hϕ0 |z| ϕni| 2
ω 2 no − ω 2