Struttura della Materia - INFN Napoli

Struttura della Materia 116
Siamo così arrivati alla regola aurea di Fermi
Pif = 2πt
Z
dβ ρ(β,Ei) |hβ,Ei|W |ϕii|
~
2 = Γt
e l’elemento di matrice di W determinalavelocitàdidecadimentodallostato
iniziale
Γ = 2π
Z
dβ ρ(β,Ei) |hβ,Ei|W |ϕii|
~
2
(60)
Il modello semplice è in grado di fornire una velocità di transizione per emissione
spontanea indipendente da t (indentificando Γ con A21) in accordo con quanto
abbiamo trovato, facendo prima il calcolo quantistico del coefficiente B12 eusando
poi la teoria fenomenologica di Einstein per ricavare A12 da B12. La forma
esplicita di W è stata data dalla teoria della radiazione di Dirac prima, e dall’elettrodinamica
quantisica poi.
L’equazione (60) vale a tempi sufficientemente corti, tali che t ¿ Γ, ovvero
quando è verificata la condizione
1
¿ t ¿ Γ. (61)
∆
L’approssimazione al primo ordine non è in grado di stimare la probabilità
|hϕi | ψ (t)i| 2 ,
che descrive invece aspetti fisici importanti del processo di decadimento. Per
migliorare il primo ordine ritorniamo al equazione di Schrõdinger
i~ d
dt | ψ (t) i =[H0 + W ] | ψ (t) i.
Se proiettiamo | ψ (t) i sugli autostati di H0
Z
| ψ (t) i = bi (t) e −iEit/~ | ϕi i +
dα b (α,t) e −iEt/~ |αi
per W = 0 icoefficienti b sono indipendenti da t mentre in presenza di W
soddisfano le seguenti equazioni
½ i~ dbi (t) /dt = R dα exp i (Ei − E) t/~ ·hϕi |W | αi·b (α,t)
i~ db (α,t) /dt =expi (E − Ei) t/~ ·hα |W | ϕii·bi (t)
che vanno risolte con le condizioni iniziali
½ bi (0) = 1
b (α, 0) = 0