Struttura della Materia - INFN Napoli

Struttura della Materia 215
con r, s e p interi. Poichè il prodotto del volume della cella primitiva del reticolo
diretto col volume della cella primitiva del reticolo reciproco è eguale a (2π) 3 ,
allora la densità dei valori di ~ k permessi nella zona di Brillouin è pari a V/ (2π) 3 ,
dove V è il volume della cella grande che identifichiamo con quello di tutto il
cristallo.
Ad un particolare valore di ~ ³ ´
k corrisponde, in generale, uno spettro discreto di
autovalori λj
~k . Al variare di ~ ³ ´
k ciascun λj
~k varia e l’autovalore può essere
considerato come una funzione a più valori di ~ k, con l’indice j che distingue le
varie determinazioni ³ ´ (nel seguito le chiameremo bande). Da quanto abbiamo
detto λj
~k deve essere una funzione periodica di ~ k con i periodi del reticolo
reciproco, i cui valori si ripetono in ciascuna cella primitiva del reticolo reciproco.
Le condizioni al contorno periodiche limitano i valori di ~ ³ ´
k e restingono i λj
~k
ad un insieme discreto, dando luogo ad una densità finita di autovalori ρ (λ) ,
essendo ρ (λ) dλ il numero dei valori di λ permessi nell’intervallo dλ. Per calcolare
il numero ρ (λ) dλ si deve identificare ³ ´ la regione della zona di Brillouin a cui
corrispondono autovalori λj
~k che cadono nell’intervallo tra λ e λ + dλ, poi
moltiplicare il volume di questa regione per V/ (2π) 3 , la densità dei ~ k permessi
nella zona, ed infine sommare su j. Laρ (λ) calcolata con le condizioni al contorno
periodiche è indipendente, in una certa misura, dal tipo di condizioni al contorno
imposte alla superficie.
Mostreremo questo attraverso un esempio. Consideriamo una porzione di una
rete quadrata di atomi collegati da molle identiche ai primi vicini. Gli atomi
sugli spigoli del quadrato sono collegati agli atomi di posto corrispondente sullo
spigolo opposto da una molla identica a quelle interne e da un’asta rigida di massa
nulla. Queste condizioni al contorno danno luogo a modi normali identici a quelli
determinati dalle condizioni al contorno periodiche.
Vogliamo confrontare la distribuzione delle frequenze normali di questo sistema
con quelle del sistema che si ottiene da questo tagliando le molle esterne, in
modo da realizzare condizioni sulla superficie più prossime a quelle di un cristallo
reale.Sappiamo dalla meccanica analitica che dato un sistema meccanico con N
gradi di libertà (e quindi con N modi normali), se imponiamo un vincolo che
riduce il numero di gradi di libertà a N − 1, allora le nuove N − 1 frequenze normali
si alterneranno alle N frequenze originali. Se si cambia la costante elastica di
una singola molla del sistema, nessuna frequenza caratteristica si sposterà tanto
dalla sua posizione originaria da uscire dall’intervallo tra la frequenza immediatamente
la precedeva e la frequenza che immediatamente la seguiva. Indichiamo
con ωn le frequenze del sistema originario e con ω0 n quelle del sistema modificato
l’indice n va da 1 (la frequenza più bassa) a N (la frequenza più alta). Se sostituiamo
una molla con un’asta rigida, introduciamo un vincolo che riduce il numero
dei gradi di libertà a N − 1 e siano le frequenze caratteristiche Ω1, Ω2, ...ΩN−1 in