Struttura della Materia - INFN Napoli

Struttura della Materia 115
e valgono le relazioni di ortogonalità e di chiusura degli stati propri di H0
⎧
⎨hϕi|ϕii
=1
hϕi|αi =0
⎩
ovvero
Z
|ϕiihϕi| +
hα|α 0 i = δ (α − α 0 )
Z
|ϕiihϕi| +
dα |αihα| =1
d βdE ρ (β,E) |β,Eihβ,E| =1.
Su H0 agisce una perturbazione W che non dipende esplicitamente dal tempo e
non ha elementi diagonali
hϕi |W | ϕii = hα |W | αi =0
(se vi sono elementi non nulli si possono passare da W ad H0, semplicemente
cambiando le energie imperturbate). Supporremo infine che W non accoppia tra
loro gli stati del continuo
hα |W | α 0 i =0.
Applicheremo, ora, a questo modello semplificato il primo ordine della teoria
delle perturbazioni dipendenti dal tempo, considerando come stato iniziale |ϕii
ecomestatofinale un stato del continuo |β,Ei. Al primo ordine la densità di
probabilità |hβ,E|ψ (t)i| 2 èdatada:
|hβ,E|ψ (t)i| 2 = 1
~ 2 |hβ,E|W |ϕii| 2 F
µ
t,
E − Ei
~
essendo |ψ (t)i l’evoluto di |ϕii al tempo t edovelafunzioneFèlacurvadi diffrazione dell’eq.(38) con ω =0e ωfi =(E − Ei) /~.
Si ottiene la probabilità per una transizione ad uno qualsiasi degli stati del
continuo |α > integrando su β esuE
Pif (t) = 1
~ 2
Z Z
dEdβ ρ(β,E) |hβ,E|W |ϕii| 2 F
µ
t,
E − Ei
~
Per tempi abbastanza lunghi – come nel caso del calcolo quantistico del coefficiente
B12 in approssimazione semiclassica, supporremo che la densità degli stati
ρ (β,E) varia lentamente attorno ad Ei ,suunintervallo~∆, echetsia tale che
t À 1/∆ – si può sostituire a F la rappresentazione della delta
F
µ
t ;
E − Ei
~
µ
E − Ei
' 2πt δ
.
~