Struttura della Materia - INFN Napoli

Struttura della Materia 47
ma sempre per il teorema di Ritz
E1 =< ª1jH1jª1 > < < ª0jH1jª0 >
E0 < < ª0jH1jª0 > + < ª0jV0 ¡ V1jª0 >
ma il secondo membro è proprio E0 essendo H1 + V0 ¡ V1 = H0, da cui l’assurdo
E0 < E0.
La densità di singola particella assegna in modo univoco il potenziale esterno.
Dato che l’energia totale è determinata in modo univoco dal potenziale esterno
essa lo è anche dalla densità. Il calcolo da principi primi del funzionale E[½]
presenta grandi di¢colta’. In questo paragrafo abbiamo ottenuto l’espressione
di questo funzionale per un gas di elettroni non interagenti, poi, attraverso l’approssimazione
semiclassica contenuta nell’equazione (13), ne abbiamo formulato
una espressione da cui origina il modello di Thomas-Fermi. Sono, tuttavia, possibili
approssimazioni migliori, più complicate, dalle quali nasce il metodo del
funzionale densità ampiamente usato per lo studio degli atomi, delle molecole e
dei solidi.
1.5 L’approssimazione di Hartree e di Hartree-Fock-Dirac
In questo paragrafo vogliamo discutere dei fondamenti all’approssimazione del
campo medio autoconsistente che provengono dall’applicazione del metodo variazionale
alla hamiltoniana a molti elettroni
H = X
i
µ pi 2
e2
¡ Z
2m
ri
+ 1
2
X
e 2
rij
i;j(i6=j)
= X
i
hi + 1
2
X
i;j(i6=j)
gij
(14)
L’approssimazione di Hartree consiste nel cercare l’energia dello stato fondamentale
di H usando una funzione di prova della forma
ª = '1(1)'2(2)¢ ¢ ¢ 'Z(Z) (15)
dove gli indici si riferiscono a stati di singola particella, mentre i numeri indicati
come argomenti individuano le variabili dinamiche di ciascuna particella e cioè
(i) sta per coordinata e spin ( ¡! r i; ¡! ¾i ). Questa funzione d’onda ha esattamente la
forma che avrebbe la funzione di prova di Z particelle non identiche e non interagenti
tra loro, mentre le autofunzioni di H sono relative a Z fermioni interagenti
tramite il potenziale elettrone-elettrone e sono totalmente antisimmetriche. Il
teorema di Ritz ci garantisce, tuttavia, che scegliendo le ' in modo da rendere
minimo il valore di aspettazione di H
hª j H j ªi
hª j ªi
si ottiene una stima per eccesso dell’energia dello stato fondamentale di H: