Struttura della Materia - INFN Napoli

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Struttura della Materia 216 ordine crescente. Abbiamo che ω1 < Ω1 < ω2 ω2 < Ω2 < ω3 ωN−1 < ΩN−1 < ωN e combinando queste diseguaglianze . . . ω 0 1 < ω2 ω1 < ω 0 2 < ω3 ω2 < ω 0 3 < ω4 . . . ωN−1 < ω 0 N ω 0 1 < Ω1 < ω 0 2 ω 0 2 < Ω2 < ω 0 3 ω 0 N−1 < ΩN−1 < ω 0 N Siamo ora in grado di dire cosa accade se si tagliano le molle esterne: nessuna frequenza caratteristica si sposterà oltre la posizione originaria della sua ν-esima
Struttura della Materia 217 vicina, essendo ν il numero delle molle rimosse. Se il numero degli atomi sulla superficie del cristallo è trascurabile rispetto al numero totale ,sivedechelo spostamento delle frequenze sarà una frazione trascurabile dello spettro totale. In definitiva possiamo dire che ρ (λ) dλ sarà dato correttamente dalle condizioni al contorno periodiche se dλ contiene un numero di autovalori grande rispetto al numero di atomi sulla superficie. 4.4 Vibrazioni nei solidi Il modello più semplice che descrive le vibrazioni nei solidi è un reticolo unidimensionale di masse e molle eguali, che mette in evidenza la periodicità spaziale del cristallo. Osserviamo che la propagazione di onde elastiche in un reticolo tridimensionale è molto più difficle da trattare, ma il modello unidimensionale è applicabile a quelle particolari onde elastiche in cui interi piani di atomi del cristallo si muovono in fase tra loro in direzione perpedicolare o parallela a quella di propagazione a seconda che l’onda sia trasversa o longitudinale. La costante elastica delle molle è allora fissata in modo da riprodurre le forze tra i piani. Se N è il numero di atomi del reticolo unidimensionale il sistema ha N gradi di libertà, con coordinate x0,x1,x2,...,xN−1 che misurano gli spostamenti di ciascuna massa dalla posizione di equilibrio. Indicheremo con a il passo del reticolo. Abbiamovistocomesiautilediscutereladinamicadiquestoreticolocomese esso fosse infinito ma soggetto a condizioni al contorno periodiche xn+N = xn in questo modo l’invarianza traslazionale semplifica lo studio del moto. L’energia cinetica del sistema è K = 1 2 M N−1 X ν=0 µ 2 dxν dt mentre quella potenziale risulta U = 1 2 γ N−1 X (xν − xν+1) 2 . ν=0 Le equazioni del moto corrispondenti sono (168) M d2 xν dt 2 = γ (xν+1 + xν−1 − 2xν) . (169)
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