Struttura della Materia - INFN Napoli

Struttura della Materia 263
chevaazeroconlaleggeT 3 osservata sperimentalmente. Notiamo che l’andamento
in T 4 in E è il corrispettivo per i fononi della legge di Stefan-Boltzmann
per i fotoni. Infatti la densità in frequenza fotonica è
da cui
E =
Z ∞
0
dω ω2
π2 ·
c3 ~ω
D (ω) = ω2
π 2 c 3
4 T
π2c3 ~ 0
dx x3
ex − 1
legge di Stefan-Boltzmann
exp (β~ω) − 1 = k4 B
Z ∞
π2
=
15 · k4 B
c3 4
· T
~
che vale a qualunque temperatura. Lo spettro in frequenza dei fotoni si estende
da 0 all’infinito e il numero dei modi del campo elettromagnetico nella radiazione
all’equilibrio termico è infinitamente grande, il calore specifico della radiazione
dicorponerotendeall’infinito per T →∞. Nel caso dei fononi il numero dei
modi normali è finito, la frequenza ha un limite superiore e il calore specifico
tende al valore asintotico 3R per T →∞. A basse temperature, nel reticolo,
sono eccitati i modi di bassa frequenza, la presenza di un limite superiore (che
nell’approssimazione di Debye è dato da ωD) è irrilevante e i fononi hanno un
comportamento simile ai fotoni. Nei reticoli cristallini l’approssimazione T 3 appare
a temperature piuttosto basse e può essere necessario che T ∼ TD/50 per
avere un comportamento T 3 ragionevolmente puro.
4.9 Paramagnetismo degli elettroni liberi
Vogliamo studiare l’effetto di un campo magnetico H su un gas di elettroni liberi.
L’applicazione del campo magnetico separa ciascun livello energetico degli elettroni
in due livelli non più degeneri con
∆E = ±µBH (279)
dove µB = e~/2mc è il magnetone di Bohr e si è trascurato l’effetto di H sul moto
orbitale degli elettroni. Diciamo N il numero degli elettroni nel livello di partenza
e trattiamo classicamente gli elettroni attribuendo agli stati il peso statistico
di Boltzmann e β(µ−εi) . All’equilibrio le popolazioni nei due livelli (inferiore e
superiore rispettivamente) sono date da
N1
N =
N2
N =
exp (βµBH)
exp (βµBH)+exp(−βµBH)
exp (−βµBH)
exp (βµBH)+exp(−βµBH)
La magnetizzazione per unità di volume risultante è
M =(N1 − N2) µB
V
= N
V µB
ex − e−x ex + e
(280)
N
= −x V µB tanh x (281)