Struttura della Materia - INFN Napoli

Struttura della Materia 156
e i modi normali si ottengono come soluzioni della forma u = Ajeiωt dove le
ampiezze Aj soddisfano il sistema lineare algebrico di equazioni
X ¡ ¢
2
−ω δjk + Vjk/Mj Ak =0
k
e la diagonalizzazione della matrice dinamica Vjk/Mj fornisce le frequenze dei
modi propri.
Per eliminare il moto del centro di massa occorre porre eguale zero la quantità
di moto totale della molecola. Poichè questa condizione significa immobilità del
centro di massa della molecola, la si può esprimere dicendo che le tre coordinate
di quest’ultimo sono costanti. Posto ~ri = ~rio + ~ui (dove ~ri0 è la posizione immobile
di equilibrio dell’atomo i-esimo e ~ui lo spostamento da questa posizione), la
condizione
NX
NX
Mi~ri = costante =
implica che
i=1
i=1
Mi~rio
NX
Mi~ui =0. (111)
i=1
Queste tre condizioni sono compatibili con le equazioni (110) poichè il tensore
delle costanti di forza Vjk deve essere tale che le tre componenti cartesiane della
forza totale agente sul centro di massa sono nulle.
Per eliminare la rotazione della molecola occorre annullare il momento angolare.
Il momento angolare non è la derivata totale rispetto al tempo di una
funzione delle coordinate e quindi non si riesce ad esprimere, in generale, questa
condizione come una relazione lineare tra gli spostamenti come abbiamo fatto
per il moto del centro di massa con la (111). Per le piccole oscillazione questo è
invece possibile . Infatti se nel momento angolare trascuriamo come infinitesimi
di ordine superiore i prodotti ~ui × (d~ui/dt) si ha
~L =
NX
i=1
Mi~ri × d~ri
dt '
NX
i=1
Mi~r0i × d~ui
dt
e quindi la relazione lineare tra gli spostamenti
= d
dt
NX
Mi~roi × ~ui
i=1
NX
Mi~roi × ~ui =0 (112)
i=1
implica l’annullarsi del momento angolare.
Per classificare i modi normali si ricorre alle trasformazioni di simmetria che
lasciano invariate le posizioni di equilibrio dei nuclei. Questa analisi viene condotta
con la teoria dei gruppi. Senza entrare in queste complicazioni matematiche
si possono trarre, comunque, alcune conclusioni con ragionamenti elementari.