Struttura della Materia - INFN Napoli

Struttura della Materia 67
Si può dimostrare che le due sottoshell con k e 4l + 2 ¡ k elettroni equivalenti
non solo hanno gii stessi termini ma che le correzioni perturbative dovute a V1
sono le stesse. Ovviamente le energie imperturbate delle due con…gurazioni di
partenza con un diverso numero di elettroni sono diverse tra loro.
1.7 L’interazione spin-orbita. Schemi di accoppiamento
LS e jj
Discutiamo brevemente dell’origine …sica del termine di interazione spin-orbita.
Ciascun elettrone si muove in un potenziale elettrostatico medio V (r) da cui si
origina un campo elettrico ~ E in cui l’elettrone compie un moto orbitale. Nel
riferimento di quiete dell’elettrone questo campo elettrico si manifesta come un
campo magnetico ~ B 0 , proporzionale al suo momento angolare, che si accoppia col
momento magnetico intrinseco dell’elettrone, proporzionale al suo spin, dando
luogo all’interazione spin-orbita.
Se si usa la trasformazione di Lorentz relativa alla velocita’ istantanea ~v dell’elettrone
i campi ~ E; ~ B nel riferimento di quiete del nucleo (che diremo del laboratorio)
divengono
~E 0
k = ~ Ek
~E 0 ? = °
µ
~E? + ~v
c £ ~
B
~B 0
k = ~ Bk
~B 0 ? = °
µ
~B? ¡ ~v
c £ ~
E
dove k e ? indicano le direzioni parallele e perpendicolari alla velocità e ° =
p 1 ¡ v 2 =c 2 . Nel riferimento di quiete dell’elettrone trascurando termini dell’or-
dine di v 2 =c 2 si ha
~B 0 = ~ B ¡ ~v
c £ ~ E con ~ E = ¡ 1
e
dV (r)
dr
Allo spin ~s corrisponde un momento magnetico ~¹ = e
mc ~s. Per e¤etto di ~ B 0 il
momento angolare ~s, considerato come una variabile classica, descrive un moto
di precessione attorno a ~ B 0 sotto l’azione di una forza il cui momento è dato da
d~s
dt = ~¹ £ ~ B 0 = 2~s £ ~! 0
L
(con ~! 0 e
L =
2mc ~ B 0 frequenza di Larmor)
e che si può ottenere dal gradiente dell’energia potenziale
~r
r :
U 0 = ¡~¹ ¢ ~ B 0 = ¡2~s ¢ ~! 0 e
L = ¡
mc ~ S ¢ ~ B + 1
m2c2 ~s ¢ ~ l 1
r
dV
dr
(22)
dove ~ l = ~r £ m~v è, ovviamente, il momento angolare e il secondo termine nasce
dall’interazione tra spin e moto orbitale. Il confronto con l’equazione relativistica