Struttura della Materia - INFN Napoli

Struttura della Materia 224
ottico mentre quello di sotto è detto acustico. Consideramo un’onda elettromagnetica
che si propaghi in direzione perpendicolare ai piani atomici. In regime di
risposta lineare la polarizzazione dipende linearmente dal campo elettrico, e ci
aspettiamo che il massimo accoppiamento si abbia quando le due onde hanno lo
stesso vettore d’onda e la stessa frequenza. La velocità della radiazione elettromagnetica
è molto più grande di quella delle vibrazioni elastiche, e l’eguaglianza
tralefrequenzeselezionainsostanzailmododivettored’ondanullodelramo
di sopra a p =0. In definitiva ci aspettiamo che i cristalli degli alogenuri alcalini
assorbono ed emettono essenzialmente alla frequenza ωmax dell’equazione (183).
Questa frequenza cade nella regione infrarossa nella quale gli alogenuri alcalini
hanno la banda di assorbimento fondamentale detta di ‘reststrahl’.
4.5 Bande di energia degli elettroni nei solidi
Lo studio del moto degli elettroni e dei nuclei nei solidi richiede l’uso della approssimazione
adiabatica che ci consente di separare il moto degli elettroni da
quello dei nuclei. Occorre in primo luogo risolvere il problema del moto degli
elettroni in presenza dei nuclei considerati come centri di forza fissi, poi l’energia
elettronica, parametrizzata dalle posizioni dei nuclei, può essere considerata
come energia potenziale per il moto dei nuclei. L’uso della approssimazione armonica
di piccole oscillazioni attorno alla posizione di equilibrio consente l’analisi
delle vibrazioni dei solidi in termini di modi normali. Per trovare le energie degli
elettroni nei solidi sono necessarie ulteriori approssimazioni. Quella che intendiamo
discutere in questo paragrafo include gli effetti attrattivi dei nuclei e di
repulsione degli elettroni tra loro in un potenziale unico nel quale gli elettrone
si muovono come particelle indipendenti. Si possono concepire procedimenti di
autoconsistenza del tipo di quelli messi in atto negli atomi e trattare con più accuratezza
gli effetti a molti corpi dovuti all’interazione elettrone-elettrone con le
approssimazioni di Hartree e di Hartree-Fock. In definitiva ci troviamo di fronte
al problema di determinare autofunzioni ed autovalori dei singoli elettroni in un
potenziale che ha la periodicità del reticolo diretto.
Un certo numero di risultati (delocalizzazione degli stati stazionari, comparsa
di bande di energia permesse e proibite, forma delle funzioni di Bloch) possono
essere stabiliti attraverso lo studio del caso più semplice di un potenziale periodico
unidimensionale V (x) tale che
V (x) =V (x + a) (184)
dove a è il passo del reticolo. L’equazione di Schrōdinger
− ~2
2m
d2ψ + V (x) ψ = Eψ
dx2 in quanto equazione differenziale ordinaria del secondo ordine ha due soluzioni
reali linearmente indipendenti u (x) e v (x) .La (184) comporta che anche u (x + a)