Struttura della Materia - INFN Napoli

Struttura della Materia 84
mensione 1 : gli autovalori di H sono necessariamente degeneri.
Questo è quello che, ad esempio, accade nell’invarianza per rotazione di una
Hamiltoniana di campo centrale. In questo caso le costanti del moto indipendenti
sono Lx; Ly e Lz che non commutano tra loro. Ciò implica la degenerazione delle
energie che dipendono solo dall’autovalore di ~ L 2 e sono degeneri rispetto a Lz:Nel
caso dell’e¤etto Stark J 2 z commuta sia con Su sia, ovviamente,. con Jz, svolgendo
un ruolo analogo a quello di ~ L 2 : Il ruolo di Lz può essere svolto o da Su o da Jz
stesso.
Per veri…care questa a¤ermazione decidiamo di classi…care gli stati con gli
autovalori di J 2 z e di Su:L’autostato simultaneo di J 2 z e di Su è speci…cato da un
numero positivo ¹ e un segno
J 2 z j¹§i = ¹2 j¹§i Suj¹§i = §j¹§i:
Consideriamo ora lo stato Jzj¹+i: Esso appartiene all’autovalore -1 di Su se ¹ 6= 0
:
Su(Jzj¹+i) = ¡JzSuj¹+i = ¡(Jzj¹+i)
e cioè Jz operando su uno stato ¹+ dà uno stato ¹¡ (e viceversa). Se il primo è
uno stato stazionario anche il secondo lo è ed appartiene alla stessa energia. Cioè
se
Hj¹+i = Ej¹+i
allora
H (Jzj¹+i) = JzHj¹+i = E (Jzj¹+i)
e quindi se ¹ 6= 0 gli autovalori hanno una degenerazione di ordine pari. Il caso
¹ = 0 è una eccezione e gli spettri degli stati 0+ e 0¡ possono essere di¤erenti.
Giungiamo alla stessa conclusione classi…cando gli stati con l’autovalore M
di Jz (in questo caso non occore speci…care l’autovalore M 2 di J 2 z
) Operando su
jMi con Su si ottiene l’autostato appartenente all’autovalore ¡M : Jz (SujMi) =
¡SuJzjMi = ¡M (SujMi) . Se jMi è uno stato stazionario di energia E; appartiene
allo stesso autovalore anche lo stato SujMi
H (SujMi) = SuHjMi = E (SujMi)
quindi gli autovalori con valori di M opposti sono degeneri (se M 6= 0).
Questa degenerazione nasce dalle proprietà di invarianza di H e non deriva
nè dalla forma dell’accoppiamento nè dalla forza dell’interazione del sistema col
campo elettrico uniforme.
Passiamo al campo magnetico. Il termine Zeeman V3 non commuta con Su:
il campo magnetico non ha invarianza per ri‡essione attraverso i piani passanti
per l’asse z (il termine proporzionale a Jz cambia segno per ri‡essione) :Dopo
aver separato il moto del centro massa (e quindi aver sistemato le invarianze per
traslazione) le costanti del moto indipendenti sono H; Jz; S0 dove S0 è l’operatore