Struttura della Materia - INFN Napoli

Struttura della Materia 256
calore specifico molare a volume costante è CV =3R (R = NAkB èlacostante
dei gas).
2-A bassa temperatura il calore specifico diminuisce e tende a zero come T 3
per gli isolanti e come T per i metalli. Il caso dei metalli può essere trattato
usando il risultato ottenuto per un gas di fermioni libero nell’ambito del modello
di Sommerfeld nel quale il calore specificomolareèdatoda
CV = R π2
2
A temperatura ambiente T/TF ∼ 10−2 quindi il contributo degli elettroni è
trascurabile rispetto al valore 3R checomevedremoèdaattribuirsialsoloreticolo.
Per gli isolanti, in cui non vi sono elettroni di conduzione, il maggior contributo
al calore specifico proviene dalle vibrazioni del reticolo. Un reticolo di
un cristallo con N atomi ha 3N modi normali e cioè 3N frequenze caratteristiche
con altrettante coordinate normali che compiono moti armonici. Possiamo
quantizzare questi 3N oscillatori armonici ed i quanti corrispondenti sono detti
fononi . Le proprietà termiche del reticolo possono essere trattate applicando a
questi fononi la statistica di Bose-Einsten che è quella appropriata essendo essi
dei bosoni. In altri termini possiamo discutere del contributo delle vibrazioni
alla capacità termica del reticoli in termini di fononi che sono, in prima approssimazione
6 , un gas di bosoni liberi. Al pari dei fotoni, i fononi possono essere
creati o distrutti in un numero arbitrario (compatibilmente con la conservazione
dell’energia): nella distribuzione di Bose non appare il potenziale chimico µ che
verrà preso eguale a zero.
Nel modello di Einstein si assume che vi sia una sola frequenza caratteristica
ω0 per tutti gli atomi del reticolo che vibrano come 3N oscillatori armonici
indipendenti (corrispondenti a N oscillatori armonici tridimensionali). All’equilibrio
termodinamico l’energia E del reticolo è data da
µ
1 1
E =3N~ω0
+ (258)
exp (β~ω0) − 1 2
ecioèda3Nvolte l’energia media dell’oscillatore armonico di frequenza ω0.
In questo caso la produttoria nella funzione di partizione (217) contiene un
solo fattore
∞X
ZG =
n=0
T
TF
1
−β(n+
e 2)~ω 0 (259)
6 Nei metalli i fononi interagiscono con gli elettroni. Questa interazione elettrone-fonone dà
luogo a numerosi ed importanti effetti fisici. Negli isolanti andando oltre l’approssimazione
armonica compare una interazione fonone-fonone che responsabile ad esempio dell’espansione
termica dei solidi.