Struttura della Materia - INFN Napoli

Struttura della Materia 218
In questo caso il campo ξ del paragrafo precedente è quello degli spostamenti
con un solo grado di libertà per cella primitiva. Dal teorema di Bloch (167) segue
che
xν = x0 exp (ikνa)
che riduce il sistema delle N equazioni accoppiate (169) ad un’unica equazione
M d2 x0
dt 2 exp (ikνa) =γx0 (exp (ik (ν +1)a)+exp(ik (ν − 1) a) − 2exp(ikνa))
ovvero
M d2x0 γ
= −2
dt2 M (1 − cos ka) x0 = −4 γ
M sin2
µ
ka
x0 = −ω
2
2 kx0 che è l’equazione di un oscillatore armonico con frequenze caratteristiche
r ¯
γ ¯
ωk =2 ¯
M ¯sin µ ¯
ka ¯¯¯
.
2
(170)
I valori di k sono assegnati dalle condizioni al contorno periodiche x0 = xN ovvero
exp (ikNa) =1
da cui
kp = 2πp
Na
dove p =0, 1, ...N − 1. (171)
Vi sono allora N frequenze proprie
r
γ
¯ ³
¯ πp
´¯
¯¯
ωp =2 ¯sin
M N
(172)
a cui corrispondono i modi propri
xp (νa, t) =A0 exp (i (kpνa − ωpt)) (173)
E’interessante mostrare come gli esponenziali di Bloch permessi dalle condizioni
al contorno periodiche
µ
2πipν
exp
N
sono i coefficienti della trasformazione lineare che definiscelecoordinatenormali
di questo sistema
X
µ
2πipν
exp x ν.
N
(174)
Xp = 1
N−1
√
N ν=0