Struttura della Materia - INFN Napoli

Struttura della Materia 247
il cambio di variabile x →−x nel primo integrale e l’uso della identità
¡ ¢ −x −1 x −1
e +1 ≡ 1 − (e +1)
dà
Z α
I (α) =
0
(α − x) 3
2 +
Z ∞
0
dx
3
(α + x) 2 − (α − x) 3
2
e x +1
+
Z ∞
α
dx
(α − x) 3
2
e x +1
L’ultimo termine è esponenzialmente piccolo nel limite dei grandi α, eilnumeratore
del secondo integrale può essere approssimato come
(α + x) 3
2 − (α − x) 3
2 =3xα 1
³ ´
3
− 2 + O α 2 per α →∞.
Tenuto conto che
si ha
equindi
3α 1
2
Z ∞
0
I (α) = 2 5
α
5
PV =
T →0
dx
2 + π2
4
gV
4π 2
x
ex 1 1
1
=3α2 Γ (2) ζ (2) = 3α 2 ×
+1 2 1 π2
×
2 6
µ 5
1 1 2
α 2 +,,,=
kBT
· 2 5
µ
5
µ 2m
~ 2
3 ·
2 2 2 5
µ
3 5
Il numero delle particelle si ottiene come
N = −
eindefinitiva
µ
∂Ω0
∂µ TV
N
V
= g
4π 2
= gV
4π 2
µ 2m
~ 2
2 +(kBT ) 2 π 2
2 +(kbT ) 2 π 2
4
4
¸
1
µ 2 + ...
¸
1
µ 2 + ... = −Ω0
µ
2m
~ 2
3 ·
2 2
µ
3
3
2 +(kBT ) 2 π2 8µ 1
2
3 "
2 2 3
µ 2 1+
3 π2
µ #
2
kBT
+ ...
8 µ
"
εF = µ 1+ π2
µ
kBT
8 µ
"
µ = εF 1+ π2
µ
kBT
8 µ
2
2
+ ...
+ ...
# 2
3
# − 2
3
¸
+ ...
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