Struttura della Materia - INFN Napoli

Struttura della Materia 163
L’elemento di matrice diagonale H11 èdatoda
¿ ¯
hϕ1 |H| ϕ1i = ϕ1
¯
p
¯
2
¯
e2 ¯
− ¯
2m r1
¯ ϕ1
À ¿ ¯
− ϕ1
¯
e
¯
2
¯
r2
¯ ϕ1
À
+ e2
R hϕ1|ϕ1i
Il primo termine è l’energia dello stato fondamentale dell’idrogeno −EH = −e2 /2a0.
Il secondo è denominato integrale di Coulomb C .Corrisponde all’energia di interazione
elettrostatica classica che avrebbe la carica −e distribuita con la densità
ϕ1 2 centrata in P1con il protone di carica +e in P2. Come per S il calcolo di C
è agevole in coordinate ellittiche
Z
C = − d 3 r ϕ 2 1 (r) e2
= − 1
Z
d 3 r exp (−2r1/a0) e2
=
Z +∞
r2
Z +1
= − e2
πa3 dµ dν
0 1
−1
µ 2 Z +∞
R
= −EH
dµ
a0
1
πa3 0
Z 2π
0
Z +1
−1
dϕ R3 (µ 2 − ν 2 )
8
r2
exp (− (µ + ν) R/a0)
dν (µ + ν)exp(− (µ + ν) R/a0) =
2
(µ − ν) R =
= −EH 2 a0
R [1 − exp (−2R/a0)(1+R/a0)] = EH · γ (R/a0) (123)
In definitiva
H11 = −EH + C + e2
(124)
R
Notiamo che limR→∞ C = −e2 /R echelimR→∞ H11 = −EH.
L’altroelementodimatrice
¿ ¯
hϕ1 |H| ϕ2i = ϕ1
¯
p
¯
2
¯
e2 ¯
− ¯
2m r2
¯ ϕ2
À ¿ ¯
− ϕ1
¯
e
¯
2
¯
r1
¯ ϕ2
À
+ e2
R hϕ1|ϕ2i
richiede il calcolo della quantità A = − < ϕ1|e2 /r1|ϕ2 > denominata integrale di
risonanza che con l’ausilio delle coordinate ellittiche è dato da
A = −EH 2 exp(−R/a0)(1+R/a0) =EH · α (R/a0) . (125)
Questa denominazione nasce dal fatto che se in un certo istante localizziamo
l’elettrone su uno dei protoni, l’evoluzione nel tempo di questo stato darà luogo
ad una oscillazione in cui l’elettrone salta da un protone all’altro (risonanza
quantistica). Il periodo di oscillazione è determinato dall’elemento di matrice
non diagonale essendo pari a H12/~. In definitiva
e
E± = −EH + e2 C ∓ A
+
R 1 ∓ S
= −EH + e2
− EH
R
H12 = −EHS + A + e2
S. (126)
R
2[1 − e −2ρ (1 + ρ)]/ρ ∓ 2e −ρ (1 + ρ)
1+e −ρ (1 + ρ + ρ 2 /3)
(127)