Struttura della Materia - INFN Napoli

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Struttura della Materia 20 è del tutto assente la correlazione tra gli elettroni. Infatti la densità di probabilità di trovare uno degli elettroni nell’intorno di un punto ~r1 e l’altro nell’intorno di ~r2 corrispondente a j©j 2 = j' (~r1)j 2 j' (~r2)j 2 è il prodotto di due densità di probabilità e quindi si riferisce a due eventi indipendenti, mentre ci aspettiamo che la mutua repulsione correli il moto dei due elettroni. Questo è stato fatto da Hylleraas usando funzioni di prova che non dipendono solo da r1 e da r2 ma anche da r12 = j~r1 ¡ ~r2j; lo stato fondamentale può dipendere solo da queste variabili perchè ha momento angolare orbitale totale nullo. La sua funzione d’onda deve avere simmetria sferica e non può dipendere dagli angoli di Eulero che speci…cano la posizione nello spazio del triangolo che ha i vettori ~r1 e ~r2 come lati. Come preciseremo meglio nel seguito la repulsione tra gli elettroni impedisce che i momenti angolari orbitali dei singoli elettroni siano costanti del moto e non commutano più con H; mentre continua a farlo la loro somma. Hylleraas ha usato funzioni di prova espresse in termini delle variabili del tipo s = r1 + r2 t = r1 ¡ r2 u = r12 Á (s; t; u) = e ¡ks 0 · s · 1 ¡ 1 · t · 1 NX l;m;n=0 0 · u · 1 cl;2m;ns l t 2m u n e il calcolo che abbiamo presentato si riferisce al caso di ordine zero in cui N = 0 e il minimo si è ottenuto per k = (Z ¡ 5=16) =a0. La convergenza del metodo è rapida e con otto parametri variazionali il risultato è leggermente sotto il valore sperimentale, in apparente contraddizione con il teorema variazionale poichè stiamo considerando lo stato fondamentale della Hamiltoniana non-relativistica (1) che è solo approssimativamente quella dell’atomo. Per l’elio Hylleraas ha ottenuto il valore di E0 = ¡2:90324 u.a.(1 unità atomica = 27.2116 eV) che di¤erisce dal valore ”esatto” Eex 0 = ¡2:90372 u.a. di sole 0.00048 u.a.(' 0:013 eV). Per ottenere la previsione teorica complessiva sul potenziale di ionizzazione bisogna aggiungere le correzioni mostrate nella tabella che sono espresse in I th 0 cm ¡1 (1cm ¡1 = 1:24 £ 10 ¡4 eV) H ¡ He Li + Iex 0 -6090.644298 -198344.58014348 -610120.4882 +corr. massa ridotta 3.315791 27.192711 47.7689 +polar. di massa 3.928 4.785 4.960 +corr. relativistiche 0.304 0.562 -16.69 +corr. radiative 0.0037 1.341 7.83 =Ith 0 I -6083.092 -198310.699 610079.62 sp 0 -6100§100 -198310.82§0.15 610079§25
Struttura della Materia 21 Passiamo ora a considerare gli stati eccitati considerando l’e¤etto della repulsione elettronica sulle con…gurazioni in cui uno degli elettroni è nello stato 1s (e cioè con n = 1; l = 0; m = 0 ) l’altro nello stato nlm. L’energia di ordine zero di HC è Eo;n = ¡Z 2 EH µ 1 + 1 n2 la correzione perturbativa dovuta a V12 deve essere valutata sugli stati di singoletto © + nlm = 1 p 2 (Ã 100 (~r1)Ã nlm (~r2) + Ã 100 (~r2)Ã nlm (~r1)) Â00 che sono 2l + 1 volte degeneri rispetto a m e sugli stati di tripletto © ¡ nlmM S = 1 p 2 (Ã 100 (~r1)Ã nlm (~r2) ¡ Ã 100 (~r2)Ã nlm (~r1)) Â1MS che sono 3 (2l + 1) volte degeneri rispetto a MS = 0; §1 e m: Nei sottospazi degli stati di singoletto e di tripletto la perturbazione e2 =r12 è diagonale h© + nlm0 ¯ e2 ¯ r12 ©+ nlmi = "+ nlm ±m;m 0 h© ¡ nlm0M 0 ¯ e S ¯ 2 ¯ ©¡ nlmM i = " S ¡ nlm ±m;m 0±MS;M 0 S r12 Gli elementi di matrice diagonali sono dati da Z Z " § 1 nlm = 2 Z § d 3 r1 d 3 r1 d 3 r2 (Ã ¤ ¤ 100 (~r1)Ã nlm (~r2) § Ã ¤ ¤ e2 100 (~r2)Ã nlm (~r1)) £ r12 £(Ã 100 (~r1)Ã nlm (~r2) § Ã 100 (~r2)Ã nlm (~r1)) = Z = d 3 r1 Dallo sviluppo (4) segue che e quindi Z Z d2 jY m l (2)j 2 Z Z d 3 r2jÃ100 (~r1)j 2 2 e2 jÃnlm (~r2)j § r12 d 3 r2Ã ¤ ¤ 100 (~r1)Ã nlm (~r2)Ã100 (~r2)Ãnlm (~r1) e2 r12 Z Inl = = e2 a d 3 r1 Z 1 0 d1 Z dx1 jY 0 0 (1)j 2 r12 = 1 Z r> d 3 r2jÃ100(~r1)j 2 2 e2 jÃnlm(~r2)j Z 1 0 dx2 x 2 1 x2 2 x> = Inl § Knl: d2 jY m l (2)j 2 = 1 r12 e ¡2x1 R 2 nl (x2) = r>
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