Struttura della Materia - INFN Napoli

Struttura della Materia 161
Non daremo i dettagli della separazione delle variabili e ci limitiamo ad osservare
che nel limite di R → 0, He diventa l’Hamiltoniana dell’atomo di Elio
ionizzato una volta con lo spettro
En = − 4
Rydberg.
n2 Se consideriamo invece il limite opposto e cioè quando i due protoni sono
molto lontani tra loro osserviamo che quando l’elettrone è vicino al protone 1 in
− ~ R/2, se R À a0 (a0 raggio di Bohr) allora
e2 '
r2
e2
R
e l’Hamiltoniana a nuclei fissi diventa quella di un atomo di idrogeno collocato
in − ~ R/2
H ' − ~2
2m ∇2 e
−
2
¯
¯~r + ~ ¯
.
R/2¯
Siamo così condotti a ritenere che una combinazione lineare degli orbitali 1s centrati
sui protoni in P1 e P2 sia una approssimazione ragionevole dello stato fondamentale
di H. Nella approssimazione LCAO (Linear Combination of Atomic
Orbitals) si usa questa combinazione lineare come funzione di prova ψ (r) applicando
ad H il metodo variazionale. Gli orbitali 1s centrati in P1 e P2 sono dati
da
ϕ1(r)= 1
³ ¯
p exp − ¯~r +
3 πa0 ~ ¯ ´
¯
R/2¯
/a0 = 1
p e
3 πa0 −r1/a0 (118)
ϕ2(r)= 1
³ ¯
p exp − ¯~r −
3 πa0 ~ ¯ ´
¯
R/2¯
/a0 = 1
p e
3 πa0 −r2/a0
e
ψ(r) =c1ϕ1(r)+c2ϕ2 (r) (119)
dove i coefficienti della combinazione lineare sono parametri variazionali ottenuti
rendendo stazionario il valore di aspettazione di H
hHi = hψ|H|ψi
hψ|ψi .
Poichè |ψ > varia in un sottospazio, minimizzare rispetto a c1 e c2 è
equivalente a diagonalizzare H nel sottospazio con base |ϕ1 >, |ϕ2 >.
Tenendo conto che gli stati ϕ1(r) e ϕ2(r) sononormalizzatia1manonsono
ortogonali, la minimizzazione di si ha risolvendo il sistema lineare omogeneo
2X
2X
cj hϕi|H|ϕji = E cj < ϕi|ϕj >.
j=1
j=1