Struttura della Materia - INFN Napoli

Struttura della Materia 17
= (Á1 (~r1) Á2 (~r2) ¡ Á2 (~r1) Á1 (~r2)) 1
p 2 (®1¯2 + ®2¯1)
à 0;0 (»1; »2) = à 1 ¡ à 2 =
= (Á1 (~r1) Á2 (~r2) + Á2 (~r1) Á1 (~r2)) 1 p 2 (®1¯2 ¡ ®2¯1)
Le autofunzioni di due spin hanno una simmetria de…nita : gli stati di tripletto
sono simmetrici rispetto allo scambio dei due spin, quello di singoletto è antisimmetrico.
Per una coppia di elettroni l’autofunzione di HC;S 2 e Sz si può
fattorizzare nella parte spaziale e nella parte di spin. Gli stati di tripletto con
parte di spin simmetrica hanno una parte spaziale antisimmetrica, mentre quello
di singoletto ha una parte spaziale simmetrica. Nello stato di singoletto entrambi
gli elettroni possono essere sistemati nello stesso autostato di HC; mentre se S = 1
i due autostati di HC debbono essere diversi l’uno dall’altro.
Lo stato fondamentale di HC si ottiene come stato di singoletto con entrambi
gli elettroni nello stato 1s
dove
appartenente all’autovalore
ª0 = ©0 (~r1; ~r2) Â00 = 1
¼a 3 e¡(r1+r2)=a Â00
a = a0=Z = ~ 2 =Zme 2 ¡ ' Z ¡1 £ 0:53 £ 10 ¡8 cm ¢ :
E0 = ¡2Z 2 EH
dove EH = e2 =2a0(' 13:6 eV) è il potenziale di ionizzazione dell’atomo di
idrogeno.
L’e¤etto della perturbazione V12 = e2 = j~r1 ¡ ~r2j è dato al primo ordine da
Z
"1 =
(3)
= e2
¼ 2 a 6
d 3 r1 d 3 r2 ©0 V 12 ©0
Z
d 3 r1 d 3 r2
e ¡2(r1+r2)=a
j~r1 ¡ ~r2j
questa è l’energia elettrostatica di due distribuzioni sferiche di carica con densità
¡e½ (r1) e ¡e½ (r2) dove
Per calcolare l’integrale
Z
I =
½ (r1) = ½ (r2) = e ¡2r=a =¼a 3 :
d 3 r1
Z
d 3 r2
e 2 ½ (r1) ½ (r2)
j~r1 ¡ ~r2j
(2)