Struttura della Materia - INFN Napoli

Struttura della Materia 206
diffrange i valori discreti di λ per i quali esistono piani con una spaziatura ed una
giacitura rispetto alla direzione di incidenza che soddisfano la legge di Bragg. Nel
metodo del cristallo rotante un singolo cristallo è ruotato attorno ad un asse
fisso in un fascio di raggi X monoenergetici. La variazione dell’angolo θ porta
differenti piani cristallini nella posizione giusta per l’interferenza costruttiva. Nel
metodo delle polveri si usa un fascio monocromatico che incide su un campione
costituito da una polvere di microcristalli, in modo tale che i singoli cristalli
abbiano una orientazione pressochè continua rispetto a quella del fascio incidente.
La legge fenomenologica di Bragg è stata giustificata dalla derivazione di Laue
dell’ampiezza dell’onda diffusa dal cristallo.
Egli suppose che sul cristallo incidesse un’onda piana monocromatica di ampiezza
³ ³ ´´
F (~x) =F0 exp i ~k · ~x − ωt
La lunghezza d’onda della radiazione λ =2π/k è tale che l’indice di rifrazione di
uncristallopostonelfascioèmoltovicinoa1el’ondapianaattraversailcristallo
praticamente indisturbata. Se ~ R è la posizione di un atomo nel reticolo (o meglio
della base del reticolo di Bravais) l’ampiezza dell’onda incidente su di esso è
³ ´ ³
F ~R = F0 exp i ~ k · ~ ´
R
Qui e nel seguito considereremo solo l’istante di tempo t =0.
L’onda diffusa dall’atomo è un’onda sferica la cui ampiezza in un punto ~ρ ha
una dipendenza spaziale data da exp (ikr) /r, dove ~r = ~ρ − ~ R, ed è proporzionale
all’ampiezza dell’onda incidente. La dipendenza spaziale complessiva è data dal
prodotto dei due fattori
exp
³
i ~ k · ~ ´
R
³
· exp (ikr) /r ' exp i ~ k · ~ ´
R + ikr /ρ
se scegliamo l’origine nel cristallo e supponiamo che la posizione ~ρ, nella quale
stiamo osservando l’onda diffusa, sia molto distante dal cristallo in modo che
r ' ρ. Se θ è l’angolo tra ~ρ e ~ R allora
r 2 ³
= ~ρ − ~ ´ 2
R = ρ 2 + R 2 − 2ρR cos θ
s
r = ρ 1 − 2 R
ρ
R2
cos θ + ' ρ − R cos θ
ρ2 e l’ampiezza dell’onda diffusa è determinata dal fattore di fase
³
exp i ~ k · ~ ´
³
R + ikρ − ikR cos θ =exp(ikρ)exp i ~ k · ~ ´
R − ikR cos θ
A grande distanza dalla sorgente l’onda sferica diffusa può essere considerata
come un’onda piana di vettore d’onda ~ k 0 di modulo eguale a quello dell’onda