Struttura della Materia - INFN Napoli

Struttura della Materia 62
1.6 I multipletti e l’interazione elettrostatica residua
Nell’approssimazione di campo centrale medio gli elettroni si muovono come particelle
indipendenti in un campo esterno centrale. Esso descrive l’interazione
degli elettroni con il nucleo e l’interazione tra di loro in modo medio. Abbiamo
visto come questo potenziale si possa essere costruito in modo autoconsistente
e come esso riesca a descrivere i caratteri principali della struttura atomica, e
cioè la tavola periodica degli elementi. Avendo sostituito all’Hamitoniana H del
paragrafo precedente l’Hamiltoniana
Hc = X
µ
2 ~p i Ze2
¡ + U(ri)
2m ri
i
vogliamo valutare l’e¤etto dell’interazione residua
V1 = H ¡ Hc = X X
µ 2 e
¡ U(ri) : (21)
i
Le correzioni perturbative dovute a V1 sono rilevanti quando nella con…gurazione
sono presenti sottoshell incomplete. Per esempio nel caso dell’atomo di Carbonio
la con…gurazione dello stato fondamentale 1s 2 2s 2 2p 2 è 15 volte degenere poichè i
due elettroni 2p possono essere sistemati in 2 distinti dei 6 stati
j ¡ 1; 1=2 >; j ¡ 1; ¡1=2 >; j0; 1=2 >; j0; ¡1=2 >; j1; 1=2 >; j1; ¡1=2 >
dove il primo numero indica l’autovalore di lz e il secondo quello di sz. Ci aspettiamo
che l’interazione elettrostatica residua rimuova, almeno in parte, questa
degenerazione. Quando nella con…gurazione sono presenti sottoshell incomplete
per valutare l’e¤etto di V1 dobbiamo applicare la teoria delle perturbazioni per
stati degeneri nel sottospazio che ha come base i determinanti di Slater corrispondenti
alla con…gurazione .Questo sottospazio viene solitamente indicato com un
multipletto. È conveniente per un multipletto usare una base nella quale V1 è
diagonale.
Osserviamo che mentre Hc commuta con i momenti angolari ~ li e con gli spin
~si dei singoli elettroni, questo non è più vero per l’Hamiltoniana completa, che
contiene l’interazione tra gli elettroni.È facile veri…care che, invece, il momento
angolare orbitale totale ~ L = P
j>i
rij
i ~ li commuta con H. Se allora a partire dai singoli
determinanti di Slater si costruiscono gli autostati del momento angolare orbitale
totale su questa nuova base la perturbazione V1 è diagonale.
Una sottoshell completa è necessariamente uno stato di singoletto con L = 0 ,
essendo descritta da un unico determinante di Slater costituito da tutti i 2(2l+ 1)
stati con i gli stessi numeri quantici nl , l’ autovalore della componente z del momento
angolare totale è ML = 0 e quello dello spin MS = 0 e quindi deve essere
L = 0 e S = 0 e nella notazione dei termini è uno stato 1 S: Per analizzare