Struttura della Materia - INFN Napoli

Struttura della Materia 37
ora se mettiamo insieme questo risultato ”classico” con la proprietà quantistica
che abbiamo ricavato in precedenza, allora possiamo legare il numero degli elettroni
per unità di volume ½ al potenziale ©
½ = (2me©)3=2
3¼ 2 ~ 3 : (7)
Si noti che l’indipendenza della relazione tra ½ e T0 dalle condizioni al contorno
è cruciale poichè anche ammettendo di poter approssimare il potenziale con una
funzione a gradini, se ci limitassimo a questo, per ricavare in modo consistente
la densità degli stati dovremmo imporre la continuità della derivata logaritmica
della funzione d’onda su tutte le super…ci di contatto tra le scatole. L’ipotesi che
gli elementi di volumi siano grandi abbastanza ci consente di mettere da parte
questo problema di enorme di¢coltà.
La natura di questa approssimazione è ”semiclassica” nel senso che ai …ni delle
considerazioni energetiche abbiamo considerato gli elettroni come particelle classiche
mentre la relazione tra la densità di elettroni nello spazio e la loro massima
energia in quel punto ha una natura quantistica essendo una manifestazione del
principio di Pauli.
Supponendo che ½ e © siano a simmetria sferica, dall’eq.(7) e dall’equazione
di Poisson:
r 2 © = 1 d
r
2
(r©) = 4¼e½
dr2 si ottiene una equazione di¤erenziale non lineare per ©
r 2 © = 4e
3¼~ 3 (2me©)3=2 : (8)
Per r ! 0 vogliamo che © descriva il solo campo elettrico della carica nucleare
puntiforme +Ze quindi
lim r© = +Ze
r!0
inoltre ½ deve veri…care la condizione di normalizzazione
Z
4¼ dr r 2 ½(r) = Z:
Il cambio di variabili
r = Z ¡1=3 bx ; © = Ze
r Â
con b = 1
µ 2=3 2
3¼ ~
2 4 me2 » 0:9aB » 0:5 ¢ 10 ¡8 cm
ci consente di trattare con quantita’ adimensionali. La quantità ÂZ assume il
signi…cato di carica e¢cace Ze®(r) che rappresenta lo schermaggio elettronico
della carica nucleare +Ze. Si noti che se © < 0 allora l’energia potenziale ¡e©