Struttura della Materia - INFN Napoli

Struttura della Materia 219
Tenuto conto che
N−1 X
µ
µ
2πipn
exp x n+1 =exp −
N
n=0
2πip
XN
N
n0 µ 0 2πipn
exp x n0 =
N
=1
µ
=exp − 2πip
N−1 X
µ
2πipn
exp x n
N
N
essendo x0 = xN eche
N−1 X
µ
µ N−2
2πipn
2πip X
exp x n−1 =exp
N
N
n=0
n0 µ 0 2πipn
exp x n0 =
N
=−1
µ N−1
2πip X
µ
2πipn
=exp
exp x n
N
N
essendo x−1 exp (−2πip/N) =xN−1 exp (2πip (N − 1) /N ) la (169) diventa
d2 µ
Xp γ
= −2 1 − cos
dt2 M
2πp
Xp = −4
N
γ
M sin2
³
πp
´
Xp = −ω
N
2 pXp. La coordinata Xp soddisfa allora l’equazione dell’oscillatore armonico (170) di
frequenza ωp.
La costruzione della trasformazione inversa della (174) è immediata. Moltiplichiamo
la (174) per
µ
exp − 2πipn
N
e sommiamo su p. Si ha
N−1 X
p=0
µ
exp − 2πipn
Xp =
N
1
√
N
n=0
n=0
X X
exp
N−1 N−1
p=0
ν=0
2πip (ν − n)
x ν
N
la somma su p al secondo membro è quella di una progressione geometrica di
ragione exp (2πi (ν − n) /N)
N−1 X
exp
p=0
2πip (ν − n)
N
= 1 − exp (2πi (ν − n))
1 − exp (2πi (ν − n) /N)
che vale invece N = PN−1 p=0 1 per ν = n, in definitiva
N−1 X
exp
p=0
2πip (ν − n)
N
= N δn,ν
=0 per ν 6= n