Struttura della Materia - INFN Napoli

Struttura della Materia 157
Se tutti gli n atomi della molecola sono su un piano è facile contare quanti
sono i modi normali che lasciano gli atomi nel piano e quelli in cui essi escono
fuori. In un moto piano si hanno 2n gradi di libertà di cui due di traslazione ed
uno di rotazione e le oscillazioni con spostamenti nel piano sono 2n − 3. Irestanti
(3n − 6) −(2n − 3) = n − 3 gradi di libertà si riferiscono ad oscillazioni che fanno
uscire gli atomi dal piano.
In una molecola lineare i moti oscillatori che lasciano gli atomi lungo la retta
sono n − 1, togliendo il grado di libertà traslazionale. Quelli che portano gli
atomi fuori dalla retta sono allora (3n − 5) − (n − 1) = 2n − 4, dovendo levare gli
altri due gradi traslazionali e i due gradi di libertà rotazionali attorno alla retta.
Ognuna di queste 2n −4 frequenze è doppiamente degenere. Infatti le oscillazioni
che lasciano gli atomi tutti nello stesso piano sono (2n − 3) − (n − 1) = n − 2
avendo eliminato le oscillazioni che lasciano gli atomi allineati. Oscillazioni che
avvengono in piani mutuamente ortiogonali sono indipendenti e questo esaurisce
i modi mormali essendo 2 × (n − 2) = 2n − 4: quindi gli spostamenti degli altri
modi normali debbono stare tutti sullo stesso piano ed ogni modo è due volte
degenere.
Oscillazioni di una molecola simmetrica triatomica
Supponiamo che l’energia potenziale della molecola lineare ABA dipenda solo
dalle distanze AB e BA e dall’angolo [ABA. Iniziamo a considerare i modi normali
che lasciano gli atomi allineati. Le equazioni di Newton per gli spostamenti lungo
l’asse della molecola sono
relative all’energia potenziale
U = 1
d
MA
2u1 dt2 = k1 (u2 − u1)
d
MB
2u2 d
MA
2u3 dt2 = k1 (u2 − u3)
dt 2 = k1 (u1 − u2)+k1 (u3 − u2) (113)
2 k1 (u1 − u2) 2 + 1
2 k1 (u2 − u3) 2
(114)
in cui gli atomi laterali interagiscono col solo atomo centrale e non tra loro.
Cerchiamo i modi propri o normali ponendo ui = Aieiω t , ω2 1A = k1/MA, ω2 1B =
k1/MB e risolvendo il sistema lineare per le ampiezze
⎛
ω
⎝
2 1A − ω2 −ω2 1A 0
−ω2 1B 2ω2 1B − ω2 −ω2 1B
0 −ω2 1A ω2 1A − ω2 ⎞ ⎛
⎠ ⎝
A1
A2
A3
⎞
⎠ =0. (115)
L’equazione secolare corrispondente
¡ 2
ω1A − ω 2¢ 2¡ 2
2ω1B − ω 2¢ −2ω 2 1Aω2 ¡ 2
1B ω1A − ω 2¢ =ω 2 ¡ ω 2 1A − ω2¢¡ ω 2 − ¡ 2ω 2 1B + ω2 ¢¢
1A =0