Struttura della Materia - INFN Napoli

Struttura della Materia 168
allora
¿
¯ ¯
À
∂
¯
En (X1,X2, ...) = n, s, X1,X2, ... ¯
∂ ¯
H0
¯
∂Xj
¯∂Xj
¯ n, s, X1,X2,...
¿
¯ ¯
¯
= n, s, X1,X2, ... ¯
∂ ¯
¯ V ¯
∂Xj
¯ n, s, X1,X2,
À
...
(131)
e quindi i valori di aspettazione delle componenti delle forze agenti sui nuclei,
dovute a tutte le interazioni elettrostatiche nella molecola, sugli autostati elettronici
dell’Hamiltoniana a nuclei fissisonoegualiaquellichesiottengonoconsiderando
En (X1,X2, ...) come energia potenziale per il moto dei nuclei. Abbiamo
così dato una interpretazione fisica al conto variazionale che abbiamo posto alla
base dell’approssimazione adiabatica.
Notiamo che il potenziale V in H0 è una funzione omogenea di grado -1 e per
il teorema di Eulero
X ∂V
Xj +
∂Xj
j
X ∂V
xi = −V (132)
∂xi i
Il commutatore di H0 con P
i xipi risulta
"
H0, X
#
xipi = i~ X
½
− p2 ¾
i ∂V
+ xi
m ∂xi
i
e poichè il suo valore di aspettazione su un autostato di H0 è nullo si ha
* +
X ∂V
2 hTei = xi
∂xi
e per la (132)
*
X
2 hTei + hV i = −
j
Xj
+
∂V
= −
∂XJ
X
i
i
j
Xj
Per il teorema di Hellmann-Feynman si ha
2 hTei + hV i = − X
ed essendo anche
si ha in definitiva
hTei + hV i = En
hTei = −En − X
hV i =2En + X
j
j
j
Xj
Xj
¿ À
∂V
= −
∂XJ
X
Xj
∂En
∂XJ
∂En
∂XJ
∂En
∂XJ
j
Xj
¿ ∂H0
∂XJ
À
.
(133)