Teoria Numeros C Ivorra Castillo

4.4. El grupo de clases 93
De este modo Pf ∗(O′ ) es el subgrupo de If ∗ (O) generado por los ideales principales
de I f (O ′ ) (identificados con ideales de I f (O)).
Llamaremos grupo de clases de O ′ al grupo cociente H(O ′ )=If ∗(O)/ Pf ∗(O′ ).
Todo a ∈ I f (O ′ ) cumple por definición a + f = O ′ , luego existen α ∈ a y
φ ∈ f tales que α + φ = 1, es decir, (α) ∈ I f (O ′ ). Por la factorización única
existe b ∈ I f (O ′ ) tal que ab =(α). Pasando a I f (O) y tomando clases, esto se
traduce en que [a] −1 =[b]. Esto prueba que todas las clases de H(O ′ ) tienen
un representante en I f (O ′ ), luego podemos considerarlas como clases de ideales
de I f (O ′ ).
Así mismo, si un ideal a ∈ I f (O ′ ) cumple [a] = 1, entonces existen números
β,γ ∈ P f (O ′ ) tales que (β)a =(γ). Existe un α ∈ a tal que γ = βα. El hecho de
que γ ∈ P f (O ′ ) implica que lo mismo vale para α y, por la factorización única,
a =(α). Así pues, un ideal de I f (O ′ ) es principal si y sólo si su clase es trivial.
Con esto hemos probado que el grupo de clases de un orden es exactamente
lo que queríamos que fuera. Ahora vamos a probar que es finito, a la vez que
calculamos su orden.
Teorema 4.17 Sea O el orden maximal de un cuerpo numérico K. SeaO ′ un
orden de K de conductor f yseah el número de clases de K. Entonces el grupo
de clases de O ′ es finito, y su orden es
h ′ =
Φ(f)
Φ ′ (f)e h,
donde Φ(f) y Φ ′ (f) son, respectivamente, el número de unidades de O/f yde
O ′ /f, mientras que e es el índice del grupo de unidades de O ′ en el grupo de
unidades de O. Además el cociente que aparece en la fórmula es entero, por lo
que h | h ′ .
Demostración: Sea H el grupo de clases de K. Consideremos el homomorfismo
If ∗ (O) −→ H dado por a ↦→ [a].
Dado cualquier ideal a de K, existe un ideal b de manera que [a −1 ]=[b]. Por
el teorema 3.10 existe un ideal c = αb −1 tal que [c] =[a] yc+f = 1. Esto implica
que el homomorfismo anterior es suprayectivo. Su núcleo es evidentemente
Pf ∗(O). Así pues If ∗ (O) / Pf ∗ (O) ∼ = H.
Por el teorema de isomorfía podemos concluir que
h ′ = |P ∗ f (O) :P ∗ f (O ′ )| h,
supuesto que probemos que el índice es finito.
Sea ahora U el grupo de unidades del anillo O/f y consideremos la aplicación
U −→ Pf ∗(O)/ Pf ∗(O′ ) dada por [α] ↦→ [ (α) ] . Veamos que está bien definida.
Si [α] =[β], entonces α ≡ β (mód f) y por ser unidades existe un γ ∈ O tal
que αγ ≡ βγ ≡ 1 (mód f). Como f ⊂ O ′ esto implica que αγ, βγ ∈ O ′ , luego
[
(α)
]
=
[
(α)(βγ)
]
=
[
(β)(αγ)
]
=
[
(β)
]
.