Teoria Numeros C Ivorra Castillo

13.3. Los números de Bernoulli 325
Desarrollando en serie ambos miembros queda
∞∑ B n (x +1)− B n (x)
∞∑
z n =
n!
n=0
Igualando los coeficientes obtenemos el resultado.
n=0
x n
n! zn+1 .
Teniendo en cuenta que B n = B n (0) = B n (1), el teorema 13.5 nos da la
relación siguiente.
Teorema 13.8 Para n ≥ 2 se cumple que B n =
n ∑
k=0
( n
)
k Bk .
Podemos expresar esta fórmula como B n =(B +1) n . Observar que B n
figura en ambos miembros de la igualdad, por lo que se simplifica. Esta fórmula
aplicada a n+1 expresa a B n en función de los números anteriores y en particular
demuestra que los números de Bernoulli son números racionales. Teniendo en
cuenta que B 0 = 1 podemos calcular fácilmente los restantes. Por ejemplo:
B 2 = B 0 +2B 1 + B 2 , luego B 1 = −1/2.
B 3 = B 0 +3B 1 +3B 2 + B 3 , luego B 2 =1/6.
Los números de Bernoulli de índice impar distinto de 1 son todos nulos. Lo
demostraremos enseguida. Los siguientes números de índice par son
B 4 = − 1 30 , B 6 = 1
42 , B 8 = − 1 30 , B 10 = 5 66 , B 12 = − 691
2.730 ,
B 14 = 7 6 , B 16 = − 3.617
510 , B 18 = 43.867
798 , B 20 = − 174.611 , ...
330
Los numeradores y denominadores de los números B 2n crecen muy rápidamente.
Por ejemplo, Euler calculó hasta
B 30 = 8.615.841.276.005 .
14.322
Los primeros polinomios de Bernoulli son
B 0 (x) = 1,
B 1 (x) = x − 1 2 ,
B 2 (x) = x 2 − x + 1 6 ,
B 3 (x) = x 3 − 3 2 x2 + 1 2 x,
B 4 (x) = x 4 − 2x 3 + x 2 − 1
30 ,
B 5 (x) = x 5 − 4 2 x4 + 5 3 x3 − 1 6 x.