Teoria Numeros C Ivorra Castillo

286 Capítulo 11. La función dseta de Dedekind
es decir, una raíz f p -ésima primitiva de la unidad. Entonces
x fp − 1=
f p−1
∏
(x − ωp),
k
k=0
de donde, sustituyendo x = p s y dividiendo entre p fps ,
1 − 1
f p−1
( )
p fps = ∏
1 − ωk p
p s . (11.13)
Entonces el producto
f
∏ p−1
k=0
(
k=0
1 − ωk p
p s ) φ(m)/fp
=
(
1 − 1
p fps ) φ(m)/fp
tiene φ(m) factores, de los cuales φ(m)/f p son iguales a 1 − ωp/p k s para cada k,
pero el número total de factores es independiente de p.
Si χ es un carácter módulo m ′ , puesto que p fp ≡ 1(mód m ′ ), se cumple que
χ(p) fp = χ(p fp )=χ(1) = 1,
luego χ(p) =ωp, k para un cierto k.
Recíprocamente, si partimos de un cierto ωp, k existe un único carácter ψ
del subgrupo cíclico generado por [p] enU m ′ que cumple ψ ( [p] ) = ωp k y, por
el teorema 11.15, este carácter se extiende a exactamente φ(m ′ )/f p caracteres
distintos de U m ′, o sea, existen exactamente φ(m ′ )/f p caracteres módulo m ′
que cumplen χ(p) =ωp k o, dicho de otro modo, si χ recorre todos los caracteres
módulo m ′ , entonces χ(p) recorre φ(m ′ )/f p veces cada raíz de la unidad.
Llamemos χ 0 al carácter primitivo que induce a un carácter dado χ. D e
nuevo por 11.15 cada carácter módulo m ′ induce φ(p i ) caracteres módulo m,
luego cuando χ recorre los caracteres módulo m cuyo conductor divide a m ′ ,
la expresión χ 0 (p) recorre φ(m)/f p veces cada raíz f p -ésima de la unidad. Los
restantes caracteres módulo m tienen conductor múltiplo de p, luego para ellos
χ 0 (p) = 0. Estos cálculos prueban que
(
1 − 1
p fps ) φ(m)/fp
= ∏ χ
donde χ recorre los caracteres módulo m.
Así lafórmula (11.12) se convierte en
ζ K (s) = ∏ p
(
1 − χ )
0(p)
p s ,
∏ 1
.
χ 1 − χ0(p)
p s
Finalmente invertimos el orden de los productos, con lo que obtenemos el
teorema siguiente: