Teoria Numeros C Ivorra Castillo

308 Capítulo 12. Sumas de Gauss
Además tenemos
G(p) = ( a − b +(c − d)i ) √ p. (12.6)
Comparando con (12.4) concluimos que
a − b = ±1, c = d cuando p ≡ 1(mód 4),
c − d = ±1, a = b cuando p ≡−1(mód 4). (12.7)
Calculemos por otro lado el determinante de A. Para ello observamos que
|A 2 | =(−1) p(p−1)/2 p p ,
luego |A| = ±i p(p−1)/2 p p/2 . Nos falta determinar el signo. Para ello observamos
que |A| es un determinante de Vandermonde. Sea η = cos(π/p) +i sen(π/p).
Entonces
∏
∏
|A| =
(ω s − ω r )= (η 2s − η 2r )
=
0≤r